Slovníček pojmů

Absolutní člen

k procvičení: BURELW

je to číslo (POZOR včetně znaménka) u toho členu, který obsahuje proměnnou umocněnou na nultou, tedy ve kterém se nevyskytuje proměnná (písmeno). „Cokoli“ kromě nuly na nultou je totiž 1.
Například ve výrazu (trojčlenu) \(x-8x^2+3\) najdeš číslo bez x. A vidíš, že je to číslo 3. Toto číslo je tedy absolutní člen tohoto mnohočlenu.

Absolutní hodnota

k procvičení: NAKUMC

je vzdálenost čísla od čísla 0 na číselné ose. Vzdálenost není nikdy záporná, takže ani absolutní hodnota nevyjde nikdy záporně. Výsledkem je vždy nezáporné číslo. To, že máš počítat z nějakého čísla nebo číselného výrazu absolutní hodnotu poznáš tak, že v příkladu je to číslo nebo číselný výraz ve svislých čárách.
Například \(\vert5\vert;\vert2+(-3)\vert;\vert-8\vert;\vert0\vert;\vert-5-6\vert;\vert2+3\vert\). Když počítáš absolutní hodnotu z jednoho čísla, tak u kladného čísla je výsledek stejné kladné číslo a u záporného čísla si odmyslíš to mínus a výsledek je vlastně opačné číslo k tomu zápornému uvnitř absolutní hodnoty. Absolutní hodnota z nuly je nula.
Například výše \(\vert5\vert=5;\vert-8\vert=8;\vert0\vert=0\). Pokud počítáš absolutní hodnotu z číselného výrazu, tak nejdřív vypočítej výsledek příkladu uvnitř absolutní hodnoty a pak už počítáš jenom absolutní hodnotu z jednoho čísla.
Například příklady výše: \(\vert2+3\vert=\vert5\vert=5;\vert2+(-3)\vert=\vert2-3\vert=\vert-1\vert=1;\vert-5-6\vert=\vert-11\vert=11\). Absolutní hodnotu také potkáš u funkce absolutní hodnota (absolutní hodnota sama o sobě není funkce).

Algebraické vzorce

k procvičení: GACEJB

tyto vzorce ti pomůžou upravovat výrazy. Na základce potřebuješ tyto tři vzorce: první: \((A+B)^2=A^2+2 \cdot A \cdot B+B^2\) – nazývá se vzorec pro výpočet druhé mocniny součtu.
Například \((x+2)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 2+2^2=x^2+4x+4\).
Druhý: \((A-B)^2=A^2-2 \cdot A \cdot B+B^2\) – nazývá se vzorec pro výpočet druhé mocniny rozdílu.
Například \((4-x)^2=4^2-2\cdot4 \cdot x+x^2=16-8x+x^2\).
Třetí vzorec: \(A^2-B^2=(A-B)\cdot(A+B)\) – tomuto vzorci se říká rozdíl čtverců.
Například \(y^2-16=y^2-4^2=(y-4)\cdot(y+4)\).

Algebraický výraz

k procvičení: LNEVUM

je to zápis „příkladu“, kde se kromě čísel vyskytuje ještě jedno nebo více písmenek. Ta písmenka nazýváme proměnné. Příkladem výrazů může být 2a. Další výraz je třeba \(3x^2-2x+2\). A do třetice si uveďme třeba výraz \(-\frac{5+b-a}{x}\), který patří mezi lomené výrazy. U výrazu můžeme spočítat jeho hodnotu pro určité hodnoty proměnných.

Arabské číslice

to jsou číslice, které jsi běžně zvyklý/á používat k zápisu čísel. Jak víš, tak čísla zapisujeme pomocí celkem deseti číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Bod

je to nějaký matematický objekt, který nemá ani délku, ani šířku. Prostě nemá žádný rozměr. V kartézské soustavě souřadnic můžeme bodům přidělit jeho souřadnice. Body značíme velkými tiskacími písmeny. Příklady bodů jsou A[2;3], B[-5,4], C[-0,5;20].

Celá čísla

k procvičení: SURLAG

jsou to čísla přirozená, ke kterým ještě přidáš 0 a záporná čísla. To znamená, že jsou to čísla …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Množina celých čísel se značí písmenem Z.

Celek (jeden celek)

k procvičení: GECADF

je to pojem používaný u zlomků. Pro ulehčení představy je to „to“, z čeho počítáš nějakou část (zlomek). Přestav si to jako jeden „balík (množina) něčeho“, z čeho vyjadřuješ nějakou část.
Například může být celek jeden dort, objednávka pěti pizz, jedna hodina, balík dvaceti bonbonů, dráha dlouhá 40 kilometrů, atd. Jedná se o zlomek, který má ve jmenovateli i čitateli stejné číslo \(\frac{1}{1},\frac{2}{2},\frac{5}{5},\frac{12}{12},…\). Tedy jeho velikost je 1.

Cifry

jsou to vlastně číslice, ze kterých sestavujeme čísla. Patří sem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Čas (v rámci slovních úloh o pohybu)

k procvičení: HAMESL

značíme ho t a udává nám, za jak dlouho (v sekundách, minutách, hodinách) překonáme určitou vzdálenost (dráhu \(s\)), když se pohybujeme pořád stejnou rychlostí \(v\). Vzorec pro výpočet času je \(t=\frac{s}{v}\).

Činitel

číslo, které násobíš s dalším číslem. V operaci násobení se každé číslo ze skupiny čísel, která násobíš, nazývá činitel. Výsledek operace násobení je součin.

Číselný výraz

k procvičení: PUBNAD

je to příklad k počítání, který obsahuje pouze čísla (přirozená, celá, racionální, desetinná, zlomky, reálná čísla) a nenajdeš v něm žádnou proměnnou.

Číslice

viz cifry - symboly 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Používáš je k sestavování čísel. Tyto číslice, které u nás používáme, se nazývají arabské.

Čitatel

to je horní část zlomku, tedy číslo nad zlomkovou čárou.
Například máš zlomek \(\frac{5}{4}\), koukneš nahoru a vidíš tam číslo 5, a to je čitatel.

Člen

Člen = jednotlivý "dílek" číselného nebo algebraického výrazu, který obsahuje čísla, proměnné ("písmenka"), součin, podíl a mocniny. Jednotlivé členy spolu "spojujeme" tak, že je sčítáme (plus) a odčítáme (mínus), a pak vzniká mnohočlen."

Setkat se můžeš s různými typy členů: jednočlen, dvojčlen, trojčlen, čtyřčlen, mnohočlen (kde můžeš určovat i jeho stupeň), absolutní člen, kvadratický trojčlen.

Čtvrtá mocnina

k procvičení: BARENC

vypočítáš ji velmi jednoduše. Číslo, jehož čtvrtou mocninu počítáš, prostě vynásobíš samo sebou čtyřikrát. Znač ji malou čtyřkou u čísla vpravo nahoře.
Například čtvrtou mocninu čísla 2 napíšeš jako \(2^4\) a vypočítáš takto \(2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\). U záporného čísla nebo zlomku (kladného či záporného) musíš dát celé to číslo do závorky, například čtvrtou mocninu čísla -3 napíšeš jako \((-3)^4\) a vypočítáš takto: \((-3)^4=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=81\). Čtvrtou mocninu zlomku \(\frac{4}{3}\) napíšeš jako \((\frac{4}{3})^4\) a vypočítáš (\(\frac{4}{3})^4=\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{256}{81}\).

Čtyřciferné číslo

poznáš ho tak, že obsahuje čtyři cifry napsané za sebou. První cifra není 0.
Například 2531, 7856, 9876. Jedná se o přirozená čísla od 1000 do 9999.
Někdy se můžeš setkat i s tím, že se pro přehlednost zapisuje čtyřciferné číslo tak, že použiješ mezeru jako oddělovač tisíců. Pak můžeš vidět číslo 1234 zapsané jako 1 234

Čtyřčlen

jsou to čtyři (jedno)členy, které se sčítají nebo odčítají. Je mezi nimi tedy plus nebo mínus.
Například \(3\); \(-8x\); \(2x^2\); \(5x^3\) jsou jednočleny, ale \(3-2x^2+(-8x)-5x^3\) už je čtyřčlen (čtyři členy oddělené plusy a mínusy). Pokud se sčítají nebo odčítají dva jednočleny, dostaneš dvojčlen, pokud tři, je to trojčlen, atd.

Definiční obor funkce

k procvičení: GUCELF

značí se D(f) nebo Df. Lidově řečeno, je to všechno, co můžeš dosadit za x do daného předpisu funkce. Někdy máš přímo k předpisu funkce zadaný interval, který je definičním oborem. Pokud je v předpisu funkce x ve jmenovateli (nebo v odmocnině a logaritmu – viz střední škola), je třeba určit podmínky a tím dostaneš čísla, která za x dosadit nemůžeš. Je pak potřeba zapsat, že definiční obor jsou všechna reálná čísla bez těch, která za x nesmíš dosadit, protože by byla ve jmenovateli 0.

Definiční obor lomeného výrazu

k procvičení: CUTEPR

když dostaneš lomený výraz, tak je potřeba si říct, kterému číslu (kterým číslům) se proměnná nesmí rovnat, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Tím vlastně určíš definiční obor lomeného výrazu, to znamená, pro které hodnoty proměnné má smysl vůbec výraz upravovat. Je to stejné, jako když určuješ podmínky existence lomeného výrazu, jenom zápis je trochu jiný. U výrazu \(\frac{2+x}{x-8}\) je ve jmenovateli výraz x-8, který se nesmí rovnat nule, tedy \(x-8\not=0\), to znamená \(x\not=8\). Definiční obor lomeného výrazu jsou tedy všechna reálná čísla bez čísla 8. To zapíšeme takto: \(x\in R-\lbrace8\rbrace\). Ale podmínky existence lomeného výrazu se zapíší takto: \(x\not=8\). To znamená, že definiční obor lomeného výrazu jsou všechna čísla, kterým se proměnná může rovnat, ale do podmínek existence lomeného výrazu se zapíše, kterým číslům se proměnná rovnat nesmí.

Definiční obor rovnice

k procvičení: KEXALT

když dostaneš rovnici s neznámou ve jmenovateli, tak je potřeba si říct, kterému číslu (kterým číslům) se neznámá nesmí rovnat, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Tím vlastně určíš definiční obor rovnice, to znamená, pro které hodnoty neznámé má smysl vůbec rovnici řešit. Je to stejné, jako když určuješ podmínky řešení rovnice, jenom zápis je trochu jiný. U rovnice \(\frac{2+x}{x-5}=2\) je ve jmenovateli výraz \(x-5\), který se nesmí rovnat nule, tedy \(x-5\not=0\), to znamená x≠5 x\not=5. Definiční obor rovnice jsou tedy všechna reálná čísla bez čísla 5. To zapíšeme takto: \(x\in R-\lbrace5\rbrace\). Ale podmínky řešení rovnice se zapíší takto: \(x\not=5\). To znamená, že definiční obor rovnice jsou všechna čísla, která neznámá může být, ale do podmínek řešení se zapíše, kterým číslům se neznámá rovnat nesmí.

Délka úsečky

je vzdálenost dvou krajních bodů úsečky. Máš-li zadanou úsečku AB (= „čára“, kterou dostaneš, když spojíš bod A a bod B), tak délku zjistíš tak, že přiložíš pravítko na úsečku tak, že hodnota 0 je přesně na bodu A, a pak přesně na bodu B je hodnota, která ti říká, jaká je délka úsečky AB. Délku úsečky AB značíme |AB| a zapisujeme například |AB| = 5 cm. Pak čteme: „délka úsečky á bé je pět centimetrů“.

Dělenec

číslo, které dělíš při operaci dělení dalším číslem. Je to první číslo v zápisu operace dělení (před symbolem děleno). Číslo, kterým dělíš, se nazývá dělitel a výsledek se nazývá podíl.

Dělení

je to operace, která se značí symbolem „:“ (děleno) a její výsledek je podíl. Číslo, které dělíš, se nazývá dělenec. Číslo, kterým dělíš (kolikrát původní číslo zmenšuješ), se nazývá dělitel.
Například: 48:6=8; 48 je dělenec, 6 je dělitel, 8 je podíl.

Dělitel

číslo, kterým dělíš při operaci dělení. Je to druhé číslo v zápisu operace dělení (za symbolem děleno). Číslo, které dělíš, se nazývá dělenec a výsledek se nazývá podíl.

Dělitel

k procvičení: XABWEV

je to přirozené číslo, kterým lze dělit zadané přirozené číslo beze zbytku. Přirozené číslo může mít jednoho dělitele, dva dělitele i více dělitelů.
Například dělitele čísla 30 jsou: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Číslo 1 je jediné číslo s jedním dělitelem, a tím je dělitel 1. Pokud má přirozené číslo přesně dva dělitele (číslo 1 a samo sebe), tak se nazývá prvočíslo, pokud má přirozené číslo více než dva dělitele, nazývá se složené číslo.

Desetinná čárka

je to čárka, která se píše u desetinných čísel. Piš ji vždycky mezi číslici na místě jednotek a číslici na místě desetin. Čti ji „celá/é“…
Například 4,5 (čti „čtyři celá pět desetin“); 6,28 (čti „šest celých dvacet osm setin“)

Desetinná čísla

k procvičení: FECPUJ

jsou to všechna čísla, která lze zapsat desetinným zlomkem. Patří mezi racionální čísla. Zajímavé je, jak poznáš, zda jde zapsat zlomek desetinným číslem na první (nebo druhý 😊) pohled (tedy zda jde napsat ve tvaru desetinného zlomku). Koukneš se do jmenovatele a když je tam číslo, které ve svém prvočíselném rozkladu obsahuje pouze čísla 2 a 5, pak ho lze zapsat desetinným zlomkem, a tedy i desetinným číslem. Pokud je v prvočíselném rozkladu jmenovatele kterékoliv jiné prvočíslo kromě 2 a 5, pak ho nelze zapsat desetinným zlomkem, tudíž to není desetinné číslo, ale číslo periodické.
Například zlomek \(\frac{9}{40}\) – ve jmenovateli je číslo \(40\), tedy \(40=2\cdot2\cdot2\cdot5\). V jeho prvočíselném rozkladu jsou pouze prvočísla 2 a 5, a tedy tento zlomek lze převést rozšířením (číslem 25) na desetinný \(\frac{225}{1000}\), a tím pádem i jeho velikost lze vyjádřit desetinným číslem (0,225). Oproti tomu zlomek \(\frac{7}{45}\) – ve jmenovateli má číslo \(45=3\cdot3\cdot5\). V jeho prvočíselném rozkladu je sice prvočíslo 5, ale vyskytuje se tam i prvočíslo 3. Tento zlomek nelze převést na desetinný, a proto ani jeho velikost nemůžeme vyjádřit desetinným číslem, ale pouze číslem periodickým (zde po vydělení 7:45 dostaneme \(0,1\bar{5})\).

Desetinné místo

k procvičení: SEKHUT

je to vlastně pořadí cifry za desetinnou čárkou. První desetinné místo hned napravo za desetinnou čárkou jsou desetiny, dále druhé desetinné místo jsou setiny, třetí tisíciny, čtvrté pořadí (místo) desetitisíciny, páté stotisíciny, šesté v pořadí (místo) jsou miliontiny, a tak dále.
Například číslo 1,2345678 má na místě desetin číslo 2, na místě setin číslo 3, na místě tisícin číslo 4, na místě desetitisícin číslo 5, na místě stotisícin číslo 6 a na místě miliontin číslo 7.

Desetinný zlomek

poznáš ho podle toho, že má ve jmenovateli číslo \(10, 100, 1000, 10000\), atd. V čitateli může být jakékoliv číslo. Jsou to například zlomky \(\frac{2}{100},\frac{7}{10},\frac{4}{1000}\). Takový zlomek lze napsat desetinným číslem. Zlomek lze vždy převést na desetinný zlomek, pokud je ve jmenovateli číslo, které ve svém prvočíselném rozkladu obsahuje pouze čísla 2 a 5.
Například zlomek \(\frac{11}{40}\)– ve jmenovateli je číslo 40, tedy \(40=2\cdot2\cdot2\cdot5\). V jeho prvočíselném rozkladu jsou pouze prvočísla 2 a 5, a tedy tento zlomek lze převést rozšířením (číslem 25) na desetinný \(\frac{275}{1000}\), a tím pádem i jeho velikost lze vyjádřit desetinným číslem (0,275). Oproti tomu zlomek \(\frac{7}{45}\)– ve jmenovateli má číslo \(45=3\cdot3\cdot5\). V jeho prvočíselném rozkladu je sice prvočíslo 5, ale vyskytuje se tam i prvočíslo 3. Tento zlomek nelze převést na desetinný, a proto ani jeho velikost nemůžeme vyjádřit desetinným číslem, ale pouze číslem periodickým (zde po vydělení 7 : 45 dostaneme \(0,1\bar{5})\).

Desetiny

k procvičení: REVGUW

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako první napravo od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,68 je to číslo 6; u čísla 56 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, je to vždy 0…).

Desetitisíce

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako páté, když počítáš směrem zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 97134,68 je to číslo 9; u čísla 189756 je to číslo 8 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Desetitisíciny

k procvičení: KUSXAW

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako čtvrté napravo, když počítáš zleva doprava, od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,6892 je to číslo 2; u čísla 67 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, jsou tam za desetinnou čárkou samé 0…).

Desítky

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako druhé, když počítáš zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,68 je to číslo 3; u čísla 68 je to číslo 6 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Diskriminant

k procvičení: NEKACM

je to číslo, které ti pomůže při výpočtu kořenů kvadratické rovnice. Značí se D a vypočítáš ho takto: \(D=b^2-4ac\), kde a,b,c jsou koeficienty v kvadratické rovnici \(ax^2+bx+c=0,a\not=0\). Na základě znaménka diskriminantu hned uvidíš, kolik řešení má daná kvadratická rovnice. Pokud D=0, pak má rovnice jeden dvojnásobný kořen (jedno řešení), pokud D >0, pak má tato rovnice dva různé kořeny, když D <0, tak tato rovnice nemá žádné řešení. Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice pak vypadá takto: \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

Dosazovací metoda

k procvičení: HEMADK

je to jedna z metod řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Postup je takový, že si vyjádříš z jedné rovnice, kterou si vybereš, jednu neznámou, kterou si vybereš, a toto vyjádření dosadíš do té druhé rovnice, kterou sis na začátku nevybral/a. Vyjde ti tak jedna rovnice o jedné neznámé, kterou vyřešíš. Pak se vrátíš s tím číslem, které ti vyšlo, k vyjádření té první neznámé, a dosadíš číslo, které ti vyšlo a tím dostaneš i tu první neznámou, za kterou jsi na začátku dosazoval/a. Možná to teď zní hoooodně složitě, ale podívej se na příklad: \(5x+2y=3
2x+y=2\)
Vybereš neznámou, kterou chceš vyjádřit. Nejlepší je vybrat tu, která má před sebou koeficient 1 nebo -1. Je to pak nejjednodušší počítání bez zlomků. Vybereš si tedy z druhé rovnice neznámou y. Vyjádříš: \(y=2-2x\). Toto dosadíš za y do první rovnice: \(5x+2\cdot(2-2x)=3\) a vyřešíš:
\(5x+4-4x=3\) \(x=-1\) Do vyjádření \(y=2-2x\) dosadíš za \(x=-1\) a dostaneš \(y=2-2\cdot(-1)=2+2=4\).
Tedy \(y=4\). A máš vyřešenou soustavu rovnice dosazovací metodou.

Dráha

k procvičení: GUCATH

značíme ji s a udává nám, jak dlouhou vzdálenost překonáme (nejčastěji v metrech nebo kilometrech), když se budeme pohybovat určitou rychlostí v po určitou dobu - čas (t). Vzorec pro výpočet dráhy je \(s=v \cdot t\). Nejčastěji se udává v jednotkách \(km\) nebo v \(m\).

Druhá mocnina rozdílu

k procvičení: DUBAPX

je to jeden z algebraických vzorců, který vypadá následovně: \((A-B)^2=A^2-2 \cdot A \cdot B+B^2\).
Například \((3-x)^2=3^2-2\cdot3 \cdot x+x^2=9-6x+x^2\). Tento vzorec je důležité umět používat, budeš ho hodně používat na střední.

Druhá mocnina součtu

k procvičení: KEXUNP

je to jeden z algebraických vzorců, který vypadá následovně: \((A+B)^2=A^2+2 \cdot A \cdot B+B^2\).
Například \((x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3+3^2=x^2+6x+9\). Tento vzorec je důležité umět používat, budeš ho hodně používat na střední.

Druhá mocnina

k procvičení: BERATK

vypočítáš ji velmi jednoduše. Číslo, jehož druhou mocninu počítáš, vynásobíš samo sebou. Značíme ji malou dvojkou u čísla vpravo nahoře.
Například druhou mocninu čísla 6 napíšeš jako \(6^2\) a vypočítáš takto \(6^2=6\cdot6=36\). U záporného čísla nebo zlomku (kladného či záporného) musíš dát celé to číslo do závorky, například druhou mocninu čísla -2 napíšeš jako \((-2)^2\) a vypočítáš takto: \((-2)^2=(-2)\cdot(-2)=4\). Druhou mocninu zlomku \(\frac{3}{7}\) napíšeš jako \((\frac{3}{7})^2\) a vypočítáš \((\frac{3}{7})^2=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{49}\).

Druhá odmocnina

k procvičení: MUSEKV

Je to přesně „převrácená“ operace oproti druhé mocnině. Používá se zápis pomocí symbolu: \(\sqrt[2]{25}\) (čti „druhá odmocnina z dvaceti pěti“), kde se nalevo nahoře zapíše taková malá dvojka. Ale běžně se tato dvojka vynechává a zapisuje (tak se matematici domluvili) pouze takto \(\sqrt{25}\) a všichni vědí, že jde o druhou odmocninu. Samozřejmě u vyšších odmocnin (třetí odmocnina, atd.) si toto nemůžeš dovolit a číslo, které vyjadřuje, kolikátou odmocninu počítáš, tam napsat musíš. Druhou odmocninu umíme z hlavy vypočítat jenom u některých čísel, řada z nich totiž patří mezi iracionální čísla.
Například \(\sqrt{36}\) – číslo 36 si rozložíš na součin dvou stejných čísel: \(36=6\cdot6\), tedy \(\sqrt{36)}=\sqrt{6\cdot6}\) a výsledek je právě to číslo, které vynásobíš samo sebou, aby vzniklo číslo 36. Tedy \(\sqrt{36}=6\). Zkoušku proveď pro sebe pomocí druhé mocniny. Když ověříš, že \(6^2=6\cdot6=36\).

Dvojciferné číslo

poznáš ho tak, že obsahuje dvě cifry napsané za sebou. První cifra není 0.
Například 25, 56, 87. Jedná se o přirozená čísla od 10 do 99.

Dvojčlen

jsou to dva (jedno)členy, které se sčítají nebo odčítají. Je mezi nimi tedy plus nebo mínus.
Například \(2x^2;5x^3\) jsou jednočleny, ale \(2x^2-5x^3\) už je dvojčlen (dva členy oddělené mínusem – odčítají se). Pokud se sčítá nebo odčítá více jednočlenů, dostaneš trojčlen, čtyřčlen, atd.

Ekvivalentní úpravy nerovnic

k procvičení: MESATB

tohle jsou všechny úpravy, které můžeme provést s lineárními i kvadratickými nerovnicemi, abychom vypočítali řešení nerovnice. Jsou to: přičtení (a odečtení) reálného čísla nebo výrazu k levé i pravé straně rovnice, vynásobení celé rovnice kladným reálným číslem, vydělení kladným reálným číslem. V těchto případech se neotáčí znak nerovnosti. U nerovnice je ale jedno velké POZOR: Jakmile násobíš, nebo dělíš záporným reálným číslem, otočí se znak nerovnosti: < se změní na >; > se změní na <; \(≤\) se změní na \(≥\); \(≥\) se změní na \(≤\). Existují také neekvivalentní úpravy nerovnic, ale s těmi se potkáš až na střední.

Ekvivalentní úpravy rovnic

k procvičení: XUWAFN

to jsou všechny úpravy, které můžeme provést s lineárními i kvadratickými rovnicemi, abychom vypočítali kořeny rovnice. Jsou to: přičtení (a odečtení) reálného čísla nebo výrazu k levé i pravé straně rovnice, vynásobení celé rovnice nenulovým reálným číslem, vydělení celé rovnice nenulovým reálným číslem. Existují také neekvivalentní úpravy nerovnic, ale s těmi se potkáš až na střední.

Exponent

to je to malé číslo (index) vpravo nahoře u mocněnce (základu mocniny). Jiný název pro exponent je mocnitel. Může to být jakékoliv reálné číslo, ale ty budeš používat jako exponent na základce pouze přirozená čísla a číslo 0. Pro přirozené číslo ti exponent říká, kolikrát za sebou máš základ mocniny násobit, abys dostal výsledek výpočtu mocniny.
Například \(87^1=87\); \(101^2=101\cdot101\); \(17^3=17\cdot17\cdot17\); \(5^5=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\); \((-6)^4=(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)\cdot(-6)\). Exponenty jsou u uvedených příkladů postupně 1; 2; 3; 5 a 4. Pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0\).
Například \((-44)^0=1\); \(11^0=1\); \((-8,01)^0=1\); \((\frac{8}{7})^0=1\); \(1^0=1\).

Extrém funkce

k procvičení: GUCELF

je to nejvyšší nebo nejnižší bod grafu funkce. Pokud je to nejvyšší bod, je to maximum, pokud nejnižší, je to minimum.

Funkce absolutní hodnota

k procvičení: SELADW

jedná se o funkci, ve které se vyskytuje x ve svislých čarách (v absolutní hodnotě). Základní funkce absolutní hodnota má předpis \(y=\vert x\vert\). Grafem této funkce je lomená čára. Hodnoty této funkce vypočítáš stejně, jako když počítáš s absolutní hodnotou. Jiné příklady funkcí s absolutní hodnotou jsou: \(y=\vert x-2\vert +1; y=-2\cdot\vert x\vert\). Zajímavé je pro tuto funkci zjišťovat monotónnost (kdy je rostoucí, kdy je klesající) a extrém (minimum, maximum).

Funkce

k procvičení: DEBACS

tento pojem budeš velmi podrobně řešit na střední škole. Pro tvou zjednodušenou představu ti uvedu jednoduché vysvětlení. Představ si , že máš nějakou množinu čísel (tomu se u funkce říká definiční obor, pokud není definiční obor uveden, pak jsou to všechna reálná čísla) a každému z těchto čísel přiřadíš právě (= přesně) jedno číslo (tato přiřazená čísla pak tvoří množinu, které se říká obor hodnot). Protože osový kříž je jak víš tvořen osami x a y, značí se číslo, kterému přiřazujeme jiné číslo jako x, a číslo, které číslu x přiřazujeme, se značí y. Ty nejčastěji potkáš, že bude to pravidlo, podle kterého se přiřadí tomu číslu x jiné číslo y, zadané buď nějakým vzorcem (předpisem, rovnicí funkce), nebo přímo nějakou tabulkou, grafem („obrázkem“), jednotlivými body a jejich souřadnicemi v kartézské soustavě souřadnic).
Například zadání funkce předpisem - \(f: y=4x\) nám říká, že hodnotu funkce v čísle (bodě) x dostaneš vždy tak, že x vynásobíš čtyřmi (prostě dosadíš za x). Je-li x = 0, pak \(y=4\cdot0=0\). Je-li x = 5, pak \(y=4\cdot5=20\).

Graf funkce

k procvičení: FNALPE

je to vlastně množina všech bodů (všech jejich souřadnic [x;y]) nanesená do kartézské soustavy souřadnic. Důležité je, že graf je pak výsledný „obrázek“, pokud opravdu naneseme všechny dvojice, kde x „projede“ všechna čísla z definičního oboru této funkce.
Například grafem přímé úměrnosti s předpisem \(y=3x\) je přímka. Pokud se opravdu za x dosadí celý definiční obor = všechna reálná čísla (což bychom samozřejmě nedokázali ani do konce našeho života), tak se těmi výslednými body \([x;y]\) vykreslí přímka. Když budeš rýsovat graf, tak ti pro přímku stačí dosadit jen dvě různá čísla za x (ta si libovolně zvolíš), dostaneš dvě různá y a potom ty body naneseš do soustavy souřadnic a spojíš a protáhneš v přímku. Tedy pro \(x=0\) je \(y=3\cdot0=0\) (dostaneš bod \([0;0]\) a pro \(x=2\) je \(y=3.2=6\) (dostaneš bod \([2;6]\). Tyhle dva body vyznačíš v soustavě souřadnic, spojíš a protáhneš v přímku. Vytvořil/a jsi graf přímé úměrnosti. Grafem funkce může být i parabola (u kvadratické funkce), hyperbola (u nepřímé úměrnosti), část přímky (když je omezený definiční obor nějakým intervalem a nejsou to všechna reálná čísla), nebo třeba lomená čára (u funkce absolutní hodnota). Mohou to dokonce být i jednotlivé body (když definiční obor budou jednotlivé body a ne interval).

Hlavní zlomková čára

k procvičení: TESHUX

je to čára, která rozděluje ve složeném zlomku čitatele a jmenovatele. U složených zlomků \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}},\frac{\frac{4}{5}}{6},\frac{2}{\frac{3}{7}}\) poznáš hlavní zlomkovou čáru tak, že je to ta „uprostřed“. Stejně jako u klasických zlomků má význam dělení.

Hodnota funkce v bodě

k procvičení: RAGUNT

vypočítáš ji tak, že za x dosadíš do předpisu funkce číslo, v němž hodnotu funkce počítáš.
Například máš funkci \(f: y=3 \cdot x\). Hodnotu této funkce v bodě -3 vypočítáš takto: \(f(-3)=2 \cdot (-3)=-6\). Hodnota funkce f bodě -3 je -6.

Hodnota funkce v čísle

k procvičení: SELADW

je to číslo, které dostaneš, když do předpisu funkce dosadíš za x číslo, v němž hodnotu počítáš.
Například zadání funkce předpisem - \(f: y=3x\) nám říká, že hodnotu funkce v čísle (bodě) x dostaneš vždy tak, že x vynásobíš třemi (prostě dosadíš za x). Je-li x = 0, pak \(y=3\cdot0=0\). Je-li x = 5, pak \(y=3\cdot5=15\). Hodnota funkce v bodě 0 (=x) je 0 (=y - výsledek výpočtu) a hodnota funkce v bodě 5 je 15.

Hodnota výrazu

k procvičení: XPAWEN

hodnotu výrazu dostaneš tak, že za proměnnou (proměnné) dosadíš zadané číslo. Můžeš dostat například spočítat hodnotu výrazu 2a pro a=5. Dosadíš: \(2\cdot5=10\).
Další výraz je třeba \(3x^2-2x+2\) a máš spočítat jeho hodnotu pro x=-1. Dosadíš: \(3\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+2=3\cdot1+2+2=7\).
A do třetice si uveďme třeba výraz \(-\frac{5+b-a}{x}\), u kterého máš určit hodnotu pro b=2, a=0, x=5. Dosadíš: \(-\frac{5+2-0}{5}=-\frac{7}{5}\).

Hyperbola

Hyperbola je křivka (čára), která je grafem nepřímé úměrnosti. Skládá se ze dvou částí, které jsou umístěné buď v prvním a třetím kvadrantu soustavy souřadnic, nebo ve druhém a čtvrtém kvadrantu.

Interval

k procvičení: LUVEPN

je to možnost, jak zapsat podmnožinu reálných čísel, kdy znáš její nejmenší číslo a její největší číslo a chceš napsat množinu všech čísel mezi tím nejmenším a největším číslem.
Například chceš zapsat všechna reálná čísla mezi číslem -2 a 3, včetně těch krajních čísel. Napíšeš to menší číslo vždy doleva a větší doprava: \(〈-2;3〉\). Jak vidíš, používají se takové lomené závorky, ale to jen v případě, že tam ty krajní body (čísla) do množiny patří. Pokud tam nepatří, bylo by to takto: (-2;3) pouze do kulatých závorek. Pokud pouze jedno krajní číslo do intervalu tam patří (například 3), tak napíšeš lomenou závorku pouze u něj a kulatou u toho, co tam nepatří (zde \((-2;3〉)\). Pokud nemáš zadané nejvyšší číslo, a máš napsat jen všechna reálná čísla větší než -2, pak se píše doprava symbol nekonečno \(\infty\) nebo také plus nekonečno \(+\infty\) a vždy u nekonečna je kulatá závorka. Vypadá to takto: \((-2;+\infty)\). Pokud máš za úkol napsat intervalem pouze všechna čísla menší než -2, použiješ doleva symbol mínus nekonečno \(-\infty\) a vypadá to takto: \((-\infty;-2)\), u mínus nekonečna se také používá vždy kulatá závorka. Další možnost, jak může vypadat interval, je, že tam -2 bude patřit, tedy když zapíšeš čísla menší nebo rovna (respektive větší nebo rovna) číslu -2. Interval pak vypadá takto s lomenou závorkou u -2: \((-\infty;-2〉\) (respektive \(〈-2;+\infty\)). Podrobnější vysvětlení a rozdělení najdeš u pojmu zápis intervalu.

Iracionální čísla

jsou to taková zajímavá čísla, která nemůžeš nikdy napsat zlomkem. Mají neukončený desetinný rozvoj, ale nepatří mezi periodická čísla, takže na jejich desetinných místech nejsou žádné skupiny čísel, které by se opakovaly. Asi nejznámější iracionální číslo je číslo π (čti pí) – Ludolfovo číslo s přibližnou hodnotou 3,14, které má využití v geometrii při počítání s kružnicí a kruhem. Množinu všech iracionálních čísel značíme I.

Jednociferné číslo

poznáš ho tak, že obsahuje jen jednu cifru.
Například 2, 5, 8. Jedná se o čísla od 0 do 9.

Jednočlen (jeden člen)

k procvičení: PENAVS

je taková základní „jednotka“. Tyto „jednotky“ se pak sčítají a odčítají a vzniká mnohočlen. Lidově řečeno, že se jedná o jednočlen, poznáš podle toho, že mezi čísly a písmenky (koeficienty (čísla) a proměnnými) není ani operace sčítání ani operace odčítání.
Například \(5x^3\) je jednočlen, ale \(5x-x^3\) už je dvojčlen (dva členy oddělené mínusem – odčítají se). Jednočlen je ale také po úpravě výraz ve tvaru \(-5 \cdot x^3\cdot2\). Dostáváš totiž \(-10x^3\). To mínus před 10 je totiž pouze znaménko, nikoliv operace odčítání.

Jednotky

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako první nalevo od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,68 je to číslo 4; u čísla 95 je to číslo 5 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Jednotky času

k procvičení: WACDEF

mezi nejčastěji používané jednotky času patří sekunda (s), minuta (min), hodina (h), den, týden, měsíc, rok. Velmi často se setkáš s tím, že budeš převádět z jedněch jednotek na jiné (například z hodin na sekundy). Budeš k tomu potřebovat znát vztahy mezi jednotkami času.

Jednotky délky

k procvičení: XUNWAV

mezi nejčastěji používané jednotky délky patří kilometr (km), metr (m), decimetr (dm), centimetr (cm) a milimetr (mm). Velmi často se setkáš s tím, že budeš převádět z jedněch jednotek na jiné (například z km na m). Budeš k tomu potřebovat znát vztahy mezi jednotkami délky.

Jednotky hmotnosti

k procvičení: FALPEH

mezi nejčastěji používané jednotky hmotnosti patří tuna (t), metrický cent (q), kilogram (kg), dekagram (dkg nebo dag), gram (g) a miligram (mg). Velmi často se setkáš s tím, že budeš převádět z jedněch jednotek na jiné (například z kilogramů na gramy). Budeš k tomu potřebovat znát vztahy mezi jednotkami hmotnosti.

Jednotky objemu

k procvičení: GUPCAX

mezi jednotky objemu patří kilometr krychlový \(km^3\), metr krychlový \(m^3\), decimetr krychlový \(dm^3\), centimetr krychlový \(cm^3\) a milimetr krychlový \(mm^3\). K dalším „nekrychlovým“ 😊 jednotkám objemu patří hektolitr (hl), litr (l), decilitr (dl), centilitr (cl) a mililitr (ml). Velmi často se setkáš s tím, že budeš převádět z jedněch jednotek na jiné (například z \(m^3\) na \(dm^3\)). Budeš k tomu potřebovat znát vztahy mezi jednotkami objemu včetně vztahů mezi krychlovými a „nekrychlovými“ jednotkami (například litry na \(m^3\)).

Jednotky obsahu

k procvičení: METSUR

mezi jednotky obsahu patří kilometr čtverečný \(km^2\), hektar (ha), ar (a), metr čtverečný \(m^2\), decimetr čtverečný \(dm^2\), centimetr čtverečný \(cm^2\)a milimetr čtverečný \(mm^2\). Velmi často se setkáš s tím, že budeš převádět z jedněch jednotek na jiné (například z \(m^2\) na \(cm^2\)). Budeš k tomu potřebovat znát vztahy mezi jednotkami obsahu.

Jmenovatel

to je dolní část zlomku, tedy číslo pod zlomkovou čárou.
Například máš zlomek \(\frac{7}{5}\), koukneš dolů a vidíš tam číslo 5, a to je jmenovatel.
Pozor: Jmenovatel nesmí být nikdy roven nule

Kartézská soustava souřadnic

pokud budeš chtít nějak „očíslovat“ každý bod v rovině (například v rovině papíru), používá se k tomu osový kříž (osa x a osa y), který rozdělí celou rovinu na čtyři části (kvadranty). Potom se tomu, co se takto vytvořilo, říká kartézská soustava souřadnic. Každý bod pak získá dvě čísla (souřadnici x-ovou a y-ovou). Ta čísla zjistíš, když „kolmo podíváš“ na osu x (první souřadnice) a na osu y (druhá souřadnice) a vyčteš na osách příslušná čísla. Pokud například u bodu A to na ose x bude číslo 2 a na ose y to bude číslo -5, pak zapíšeš souřadnice bodu A takto: A[2;-5].

Kladná čísla

to jsou všechna čísla, která před sebou nemají žádné znaménko, protože znaménko „+“ (plus) se před ně nepíše. Jsou to například 150; 2,6; 0,9; 29… Na číselné ose jsou to všechna čísla napravo od nuly.

Kladná desetinná čísla

k procvičení: TUCHAJ

to jsou všechna desetinná čísla, která před sebou nemají žádné znaménko, protože znaménko „+“ (plus) se před ně nepíše. Jsou to například 15,09; 2,6; 0,9; 29,326… Na číselné ose jsou to všechna desetinná čísla napravo od nuly.

Kladné smíšené číslo

k procvičení: VANFEX

poznáš ho tak, že je to smíšené číslo, před kterým není žádné znaménko (protože když před číslem žádné znaménko není, tak je tam skryté plus 😊).
Například smíšené číslo \(3\frac{1}{5}\).

Kladný zlomek

poznáš ho tak, že je to zlomek, před kterým není žádné znaménko (protože když před číslem žádné znaménko není, tak je tam skryté plus 😊). Může se taky stát, že potkáš zlomek, který má v čitateli a jmenovateli záporné číslo, takže ve výsledku vlastně záporné číslo vydělené záporným číslem je kladné číslo, například \(\frac{-2}{-3}\) je ve své podstatě ve výsledku kladný zlomek \(\frac{2}{3}\) („mínus a mínus dává plus“).

Klesající funkce

k procvičení: AUDEWR

existuje velmi přesná definice klesající funkce, pro naše účely si představ, že jdeš zleva doprava po grafu funkce. Pokud směrem zleva doprava „jedeš z kopce“, funkce je klesající. Samozřejmě můžeš jet pouze určitý úsek zleva doprava z kopce. Pak je funkce, kterou zkoumáš, klesající jen na tom intervalu (pro taková x), na kterém jedeš z kopce.

Koeficient nepřímé úměrnosti

k procvičení: TLEHUG

najdeš ho v čitateli v předpisu funkce nepřímá úměrnost, je-li ve tvaru \(y=\frac{k}{x}\), pak je to to číslo k.
Například funkce \(f:y=-\frac{5}{x}\)má v čitateli číslo -5 (POZOR na mínus před zlomkem!), tedy koeficient této nepřímé úměrnosti je -5. Funkce \(g:y=\frac{0,5}{x}\)má v čitateli číslo 0,5, koeficient této nepřímé úměrnosti je 0,5. Navíc se z tohoto koeficientu dá zjistit, ve kterých kvadrantech bude mít tato hyperbola své větve („jak bude vypadat graf“) a monotónnost. Pokud je koeficient k menší než 0, je graf této funkce ve II. a IV. kvadrantu a funkce je rostoucí, je-li koeficient k větší než 0, je graf této funkce v I. a III. kvadrantu a funkce je klesající. Funkce \(f:y=-\frac{5}{x}\) má graf funkce ve II. a IV. kvadrantu a tato funkce je rostoucí a funkce \(g:y=\frac{0,5}{x}\) má graf funkce v I. a III. kvadrantu a je klesající.

Koeficient přímé úměrnosti

k procvičení: RVAGED

najdeš ho před x v předpisu funkce přímá úměrnost.
Například funkce \(f: y=-5x\) má před x číslo -5, tedy koeficient přímé úměrnosti je -5. Funkce \(g: y=0,5x\) má před x číslo 0,5, koeficient této přímé úměrnosti je 0,5. Navíc se z tohoto koeficientu dá zjistit monotónnost funkce. Pokud je koeficient menší než 0, je tato funkce klesající, je-li koeficient větší než 0, je tato funkce rostoucí. Funkce \(f: y=-5x\) je tedy klesající a funkce \(g: y=0,5x\) je rostoucí.

Koeficient u kvadratického členu

k procvičení: XEWAHN

je to číslo (POZOR včetně znaménka) u toho členu, který obsahuje proměnnou umocněnou na druhou.
Například ve výrazu (trojčlenu) \(6x-9x^2+2\) najdeš nejdřív \(x^2\), a pak se podíváš, kterým číslem se násobí (které číslo je před ním). A vidíš, že je to číslo -9. Toto číslo je tedy koeficient u kvadratického členu tohoto mnohočlenu.

Koeficient u lineárního členu

k procvičení: LUVEDM

je to číslo (POZOR včetně znaménka) u toho členu, který obsahuje proměnnou umocněnou na prvou.
Například ve výrazu (trojčlenu) \(2x-3x^2+1\) najdeš nejdřív x, a pak se podíváš, kterým číslem se násobí (které číslo je před ním). A vidíš, že je to číslo 2. Toto číslo je tedy koeficient u lineárního členu tohoto mnohočlenu.

Konstantní funkce

k procvičení: RAGUNT

je to speciální případ lineární funkce (předpis je \(y=ax+b)\), kdy úplně vypadne x, tedy a = 0. Jsou to funkce s předpisem y = b (b je jakékoliv reálné číslo). Tato funkce není ani rostoucí ani klesající. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází na ose y vždy bodem o souřadnicích [0;b]. Jsou to například funkce \(y=-0,5; y=2; y=-5\).

Kořen rovnice

to je to číslo, které když dosadíš za neznámou do zadané rovnice, tak ti vyjde, že levá strana = pravá strana. Je to výsledek řešení rovnice. Ty se setkáš s rovnicemi, které nemají žádný kořen, právě jeden kořen, u kvadratických rovnic mohou mít rovnice právě dva kořeny. U některých rovnic ti vyjde i nekonečně mnoho kořenů. Množina všech kořenů rovnice se značí často K. Vyjde-li ti při řešení rovnice, že se neznámá rovná -5 a 1 , tak zapíšeš \(K=\lbrace-5;1\rbrace\).

Krácení lomeného výrazu

k procvičení: REGAVD

je to vydělení čitatele i jmenovatele stejným výrazem (samozřejmě se nesmí ten výraz rovnat 0). Je to jedna z poměrně náročných operací. Lomené výrazy se můžou krátit buďto hned (pokud máš čitatele i jmenovatele ve tvaru součinu nebo můžeš krátit rovnou celý čitatel nebo jmenovatel), nebo až po úpravě čitatele i jmenovatele na součin pomocí jedné z metod úprav (rozkladu) na součin, kam patří vytknutí před závorku, postupné vytýkání nebo použití algebraických vzorců. Například když máš za úkol zkrátit lomený výraz \(\frac{12a-4}{36+16a}\), tak provedeš nejdříve vytknutí před závorku u čitatele i jmenovatele a zkrátíš činitelem (číslem nebo výrazem), který je oběma společný, v tomto případě číslem 4: \(\frac{12a-4}{36+16a}=\frac{4\cdot(3a-1)}{4\cdot(9+4a)}=\frac{3a-1}{9+4a}\) . Krácení lomených výrazů je potřeba hodně trénovat, protože své dovednosti pak dobře využiješ na střední.

Krácení poměru

k procvičení: XEUWMS

poměr (i postupný poměr) zkrátíš určitým kladným číslem tak, že každé číslo v tom poměru vydělíš tím zadaným kladným číslem.
Například poměr 5 : 10 máš zkrátit pěti – dostaneš \((5:5):(10:5)=1:2\). Nebo máš postupný poměr \(4:8:12\) zkrátit dvěma – dostaneš \((4:2):(8:2):(12:2)=2:4:6\).

Krácení zlomků

k procvičení: TEVHUS

je to vydělení čitatele i jmenovatele stejným číslem (samozřejmě kromě nuly).
Například když máš za úkol zkrátit zlomek \(\frac{12}{36}\) čtyřmi, tak provedeš tuto operaci: \(\frac{12}{36}=\frac{12:4}{36:4}=\frac{3}{9}\)

Křížové pravidlo pro porovnávání zlomků

k procvičení: DEMBUT

je to jednoduché pravidlo, podle kterého se ti bude dobře rozhodovat, který ze dvou zlomků je větší. Pokud jsou oba zlomky kladné, nebo oba zlomky záporné, pak má smysl ho použít. U zlomků \(\frac{5}{6}\) a \(\frac{2}{3}\)vynásobíš prvního čitatele s druhým jmenovatelem (tj. 5 . 3 = 15) a vynásobíš druhého čitatele s prvním jmenovatelem (tj. \(2\cdot6=12\). Protože 15 je větší než 12 (15 > 12), je zlomek \(\frac{5}{6}\) větší než \(frac{2}{3}\) (zapíšeš \(\frac{5}{6}>\frac{5}{6}\)). U zlomků \(-\frac{5}{6}\) a \(-\frac{2}{3}\) vynásobíš prvního čitatele s druhým jmenovatelem (tj. 5 . 3 = 15) a vynásobíš druhého čitatele s prvním jmenovatelem (tj. \(2\cdot6=12\). Ale pozor: Oba zlomky jsou záporné, proto musíš porovnat tato získaná čísla se záporným znaménkem: -15 je menší než -12 (-15 < -12), je zlomek \(-\frac{5}{6}\) menší než \(-\frac{2}{3}\) (zapíšeš \(-\frac{5}{6}<-\frac{2}{3}\)).

Kvadranty

tento pojem pochopíš takto: osový kříž (osa x a osa y) se protínají v jednom bodě (= počátek soustavy souřadnic) a rozdělí soustavu souřadnic (rovinu) na čtyři části: horní pravou = I. kvadrant, horní levou část = II. kvadrant, dolní levou část = III. kvadrant a dolní pravou část = IV. kvadrant. Číslování kvadrantů se zavedlo proto, aby se matematici lépe orientovali v soustavě souřadnic.

Kvadratická funkce

k procvičení: CPETAK

je to funkce s obecným předpisem \(f:y=ax^2+bx+c\), kde \(a\not=0\). Je-li b=0, pak je předpis jednodušší (x vypadne): \(f:y=ax^2+c\). Je-li c=0, pak je předpis jednodušší (c vypadne): \(f:y=ax^2+bx\). Jsou-li rovny nule oba koeficienty b=0,c=0, pak je předpis nejjednodušší (x i c vypadne): \(f:y=ax^2\). Grafem kvadratické funkce je parabola, která může vypadat jako „mistička“ (a>0), nebo jako „kopeček“ (a<0). Setkáš se také ještě s předpisem kvadratické funkce ve tvaru vrcholovém: \(f:y=a\cdot(x-x_v)^2+y_v\), ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice vrcholu \(V[x_v;y_v]\) (minima nebo maxima funkce). Ve vyšších ročnících pak určitě uvidíš zápis pomocí rozkladu na kořenové činitele, ze kterého rovnou vyčteš průsečíky s osou x (kořeny \(x_1\) a \(x_2\) rovnice \(ax^2+bx+c=0\). Ten vypadá takto: \(f:y=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\). Uvedu ti několik příkladů.
Například funkce \(f:y=-5x^2+2x-10=0\) má graf parabolu ve tvaru „kopečku“, protože \(a=-5<0\). Nebo z předpisu funkce \(g:y=6\cdot(x-1)^2-15\) lze například vyčíst, že vrchol má souřadnice \(V[1┤;├ -15]\) a že \(a=6>0\), to znamená parabola má tvar „mističky“ a vrchol je její minimum, tedy funkce je zdola omezená. Z předpisu funkce \(h:y=-2\cdot(x-5)\cdot(x+8)\) lze například vyčíst, že \(a=-2<0\), graf má tvar „kopečku“ a funkce má tedy maximum a je tím pádem shora omezená. Dále vyčteš, že parabola protíná osu x v číslech \(x_1=5\) a \(x_2=-8\), to znamená v bodech o souřadnicích \([5┤;├ 0]\) a \([-8┤;├ 0]\). U kvadratické funkce se tedy zkoumá nejčastěji její graf, extrém, monotónnost, omezenost, obor hodnot, souřadnice vrcholu, průsečíky s osou x a průsečík s osou y.

Kvadratická rovnice

k procvičení: HAMUKJ

je to každá rovnice, ve které najdeš neznámou ve tvaru druhé mocniny, myšleno i po úpravě.
Například dostaneš po úpravě tvar rovnice \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a\not=0\). Může to být kvadratická rovnice úplná, nebo neúplná (bez lineárního členu, bez absolutního členu). Její kořeny vypočítáš pomocí diskriminantu. \(D=b^2-4ac\). A potom \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\). Pokud D =0, pak má rovnice jeden dvojnásobný kořen (jedno řešení), pokud D >0, pak má tato rovnice dva různé kořeny (jednou dosadíš v čitateli „+“ a podruhé „-“), když D < 0, tak nemůžeš v reálných číslech diskriminant (záporné číslo) odmocnit, proto tato rovnice nemá žádné řešení.

Kvadratický trojčlen

k procvičení: BURELW

jedná se o výraz ve tvaru \(ax^2+bx+c\), kde \(a\not=0, b\not=0, c\not=0\). Za proměnnou samozřejmě nemusíš mít jenom x, ale i jiná písmenka (proměnné). Příkladem kvadratického trojčlenu je výraz \(-5x^2+6x+2\). Kvadratické trojčleny se budeš učit na střední škole rozkládat na součin pomocí nalezení kořenů kvadratické rovnice.

Levá strana rovnice

je to celý výraz umístěný v zápisu rovnice nalevo od symbolu „=“.
V rovnici 2x+5=3 je levá strana 2x+5; v rovnici -9-2y+3y-5=-3y+6 je levá strana rovna -9-2y+3y-5. Značí se L – například u zkoušky.

Liché číslo

Liché číslo je libovolné číslo, které končí na cifru 1, 3, 5, 7 nebo 9. Opakem lichého čísla je číslo sudé.

Lineární člen

lineární člen je ten člen výrazu, který obsahuje proměnnou v první mocnině (písmenko x, y, z, a, b, c, d, u, v, atd.). Například u kvadratického trojčlenu \(−5x2-6x+2\) se jedná o člen -6x. Důležité je, že při zápisu lineárního členu je třeba myslet i na to znaménko.

Lineární funkce

k procvičení: AUDEWR

je to funkce s předpisem (rovnicí, vzorcem) \(y=a \cdot x+b\) (zkráceně \(y=ax+b)\). Za a a b můžeš dosadit libovolné reálné číslo. Jsou to například funkce \(y=2x+3; y=-x–1; y=-3x+2; y=2x–5\). Pokud je b = 0, pak je to vlastně jen y = ax a to je funkce přímá úměrnost. Jsou to například funkce \(y=2x; y=0,5x; y=-5x\). Pokud vidíš, že v předpisu není žádné x, tak vlastně vypadlo kvůli tomu, že a = 0. Takový předpis je y = b a funkce se nazývá konstantní. Jsou to například funkce \(y=-0,5; y=2; y=-5\). Grafem lineární funkce je vždy přímka. Lineární funkce je rostoucí, je-li a kladné číslo (a > 0), klesající, je-li a záporné číslo (a < 0), a konstantní (není klesající ani není rostoucí), je-li a = 0. pokud koukneš na výše jmenované funkce, tak rostoucí jsou: \(y=2x+3; y=2x–5, y=2x; y=0,5x\); klesající jsou \(y=-5x; y=-x–1; y=-3x+2\); konstantní jsou \(y=-0,5; y=2; y=-5\).

Lineární nerovnice

je to každá nerovnice, ve které se vyskytuje neznámá pouze v první mocnině (vyskytuje se tam písmenko x, y, z, a, b, c, d, u, v, atd., není tam jiná mocnina toho písmenka). Tvým úkolem je u lineární nerovnice najít všechna taková čísla, která když dosadíš na neznámou, tak ti vyjde pravdivá nerovnost (například 0<5). Lineární nerovnice se řeší pomocí ekvivalentních úprav (odkaz na ekvivalentní úpravy nerovnic). Příkladem lineární nerovnice je \(22x+5>3\) - tam je neznámá x; v nerovnici \(2−9−2y+3y−5 ≤ 3\) - tam je neznámá y. U lineární nerovnice POZOR: Jakmile násobíš, nebo dělíš záporným reálným číslem, otočí se znak nerovnosti: < se změní na >; > se změní na <; ≤ se změní na ≥; ≥ se změní na ≤. Existují také neekvivalentní úpravy nerovnic, ale s těmi se potkáš až na střední.

Lineární rovnice

k procvičení: CRUGAD

je to každá rovnice, ve které se vyskytuje neznámá pouze v první mocnině (vyskytuje se tam písmenko x, y, z, a, b, c, d, u, v, atd., není tam jiná mocnina toho písmenka). Tvým úkolem je u lineární rovnice najít takové číslo, které když dosadíš na neznámou, tak ti vyjde, že se číslo na levé straně rovná číslu na pravé straně. Lineární rovnice se řeší pomocí ekvivalentních úprav. Příkladem lineární rovnice je \(2x+5=3\) - tam je neznámá x; v rovnici \(-9-2y+3y-5=3\) - tam je neznámá y. Řešením lineární rovnice může být jedno reálné číslo, nebo nekonečně mnoho čísel (všechna reálná čísla), nebo žádné číslo (rovnice nemá řešení, řešením je prázdná množina). V lineárních rovnicích se v průběhu řešení můžeš setkat sice s neznámou umocněnou na vyšší mocninu, ale po sečtení členů se ti tyto členy s vyšší mocninou odečtou.

Lomený výraz

k procvičení: SULEWH

jedná se o výraz, který obsahuje proměnnou ve jmenovateli. Příkladem lomeného výrazu je třeba: \(-\frac{5+b-a}{x}\), nebo \(\frac{5+x}{x^2-1}\) a taky \(\frac{2}{y}\) . U těchto výrazů je potřeba určit, která čísla nesmíme za proměnné dosazovat, protože by pak vyšla nula ve jmenovateli. Tomu říkáme podmínky existence lomeného výrazu (nebo taky definiční obor lomeného výrazu).

Maximum funkce

k procvičení: HAMUDK

je to nejvyšší bod grafu funkce. Patří mezi extrémy funkce.

Menšenec

číslo, od kterého odčítáš při operaci odčítání. Je to první číslo v zápisu operace odčítání (před symbolem mínus). Číslo, které odčítáš, se nazývá menšitel a výsledek se nazývá rozdíl.

Menšitel

číslo, které odčítáš při operaci odčítání od jiného čísla. Je to druhé číslo v zápisu operace odčítání (za symbolem mínus). Číslo, od kterého odčítáš, se nazývá menšenec a výsledek se nazývá rozdíl.

Měřítko

k procvičení: CSETAK

u mapy nebo u plánu je to poměr, ve kterém jsme zmenšili skutečnou vzdušnou vzdálenost mezi dvěma body v terénu (ve skutečnosti) a zakreslili tuto zmenšenou vzdálenost „na papír“. Nejčastěji se měřítko udává ve tvaru 1 : „nějaké číslo“, například 1 : 10000 znamená, že skutečná vzdušná vzdálenost v terénu 10000 cm je zakreslená v mapě úsečkou délky 1 cm, tedy 1 cm na mapě = 10000 cm ve skutečnosti.

Miliontiny

k procvičení: TALGER

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako šesté napravo, když počítáš zleva doprava, od desetinné čárky, to znamená u čísla 34,689271 je to číslo 1; u čísla 34 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, jsou tam za desetinnou čárkou samé 0…).

Miliony

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako sedmé, když počítáš směrem zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 2597134,68 je to číslo 2; u čísla 21349756 je to číslo 1 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Minimum funkce

k procvičení: FEPAVR

je to nejnižší bod grafu funkce. Patří mezi extrémy funkce.

Mínus nekonečno

chápej ho jako „nejmenší reálné číslo“ ve smyslu, že menší číslo už nejde najít ani zapsat… má označení \(-\infty\) a ty ho uvidíš hlavně v zápisu intervalů.

Mnohočlen (polynom)

k procvičení: PCENUV

je to součet nebo rozdíl libovolného počtu jednočlenů. Tedy jeden jednočlen vedle druhého a mezi nimi plusy a mínusy. Podle toho, kolik tam je těch členů (oddělují se právě plusy a mínusy) se pak počítá „kolikačlen“ to je. Jsou-li tam dva, je to dvojčlen, pro tři členy je to trojčlen, pro čtyři čtyřčlen, atd. U polynomu můžeš určovat jeho stupeň. To je nejvyšší mocnina, kterou tam najdeš u proměnné.

Množina všech řešení rovnice

najít tuto množinu znamená najít kořen(y) rovnice. Je to množina všech čísel, která když dosadíš za neznámou do zadané rovnice, tak ti vyjde, že levá strana = pravá strana. Jsou to všechny kořeny rovnice. Ty se setkáš s rovnicemi, které nemají žádné řešení, právě jedno řešení, u kvadratických rovnic mohou mít rovnice právě dvě řešení. U některých rovnic ti vyjde i nekonečně mnoho řešení. Množina všech řešení (kořenů) rovnice se značí často K. Vyjde-li ti při řešení rovnice, že se neznámá rovná -2 a 3 , tak zapíšeš \(K=\lbrace-2;3\rbrace\)

Množina

k procvičení: WATDEM

je to soubor prvků (osob, čísel, předmětů), které mohou mít nějakou (společnou) vlastnost. Množiny značíme často velkými tiskacími písmeny:
například množina \(A\) je množina všech pastelek v penále, množina \(B\) je množina všech kladných přirozených čísel, množina \(C\) je množina všech žáků ve třídě 6.A. Všechny prvky množiny se často vypisují do množinové závorky takto:
\(D={1,2,3}\)
\(D=\lbrace 1,2,3\rbrace\)
Množina \(D\) je množina, která obsahuje 3 prvky: číslo 1, číslo 2 a číslo 3.

Mocněnec

to je to číslo, u kterého je vpravo nahoře malé číslo (= exponent nebo jiným názvem mocnitel). Mocněnec (= základ mocniny) může být kterékoliv reálné číslo. Na základce budeš základ mocniny umocňovat pouze na přirozená čísla (= exponent bude přirozené číslo) nebo 0. Potom mocninu tohoto čísla vypočítáš tak, že budeš za sebou násobit základ mocniny tolikrát, čemu je roven mocnitel.
Například \(15^1=15\); \(30^2=30\cdot30\); \(109^3=109\cdot109\cdot109\); \(4^5=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\); \((-8)^4=(-8)\cdot(-8)\cdot(-8)\cdot(-8)\). Mocněnce jsou u uvedených příkladů postupně 15; 30; 109; 4 a -8. Mocnitelé jsou po řadě 1; 2; 3; 5 a 4. Pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0\).
Například \((-4)^0=1\); \(33^0=1\); \((-5,9)^0=1\); \((\frac{1}{90})^0=1\); \(1^0=1\).

Mocnina

k procvičení: MASUEG

je to zápis (příklad), kdy se ti tam vyskytuje malé číslo (= exponent nebo jiným názvem mocnitel) vpravo nahoře u nějakého jiného čísla (= základ mocniny nebo jiným názvem mocněnec). Ty se setkáš na základce s tím, že základ mocniny bude reálné číslo a exponent bude přirozené číslo nebo číslo 0. Mocninu pak vždy vypočítáš tak, že budeš za sebou násobit základ mocniny tolikrát podle čísla, které je v exponentu.
Například \(10^1=10\); \(20^2=20\cdot20\); \(11^3=11\cdot11\cdot11\); \(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\); \((-3)^4=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\). Základy mocnin jsou u uvedených příkladů postupně 10; 20; 11; 2 a -3. Exponenty jsou po řadě 1; 2; 3; 5 a 4. Pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0\).
Například \((-8)^0=1\); \(10^0=1\); \((-2,5)^0=1\); \((\frac{2}{5})^0=1\); \(1^0=1\).

Mocnitel

to je to malé číslo (index) vpravo nahoře u mocněnce (základu mocniny). Jiný název pro mocnitel je exponent. Může to být jakékoliv reálné číslo, ale ty budeš používat jako mocnitel na základce pouze přirozená čísla a číslo 0. Pro přirozené číslo ti mocnitel říká, kolikrát za sebou máš základ mocniny násobit, abys dostal výsledek výpočtu mocniny.
Například \(14^1=14\); \(20^2=20\cdot20\); \(90^3=90\cdot90\cdot90\); \(3^5=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\); \((-7)^4=(-7)\cdot(-7)\cdot(-7)\cdot(-7)\). Mocnitelé jsou u uvedených příkladů postupně 1; 2; 3; 5 a 4. Pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0\).
Například \((-3)^0=1\); \(111^0=1\); \((-9,05)^0=1\); \((\frac{7}{9})^0=1\); \(1^0=1\).

Monotónnost funkce

k procvičení: TEHAGS

je to pojem, který když uvidíš, znamená to, že máš zjišťovat, jestli a ve kterém intervalu je funkce rostoucí, klesající nebo konstantní. Některé funkce jsou na celém definičním oboru rostoucí (např. lineární funkce y=2x), některé jsou na celém definičním oboru klesající (např. y=-2x), některé konstantní (např. y=2). U některých funkcí (například kvadratická funkce nebo funkce s absolutní hodnotou) je funkce rostoucí jen na určitém intervalu a na jiném intervalu je klesající.

Násobek

k procvičení: PUVANM

je to přirozené číslo, které vznikne vynásobením nějakého jiného přirozeného čísla.
Například když vynásobíš číslo 5 číslem 6, vyjde číslo 30. Číslo 30 je tedy násobek čísla 6 a i čísla 5.

Násobení

je to operace, která se značí symbolem „\(\cdot\)“ (krát) a její výsledek je součin. Čísla, která spolu násobíš, se nazývají činitelé.
Například: \(8\cdot6=48\); 8 a 6 jsou činitelé, 48 je součin.

Nejmenší společný násobek

k procvičení: FUMPAH

počítá se u dvou nebo i více čísel. Poznáš ho tak, že je to nejmenší možné číslo, které jde beze zbytku dělit všemi čísly ve skupině čísel, jejichž nejmenší společný násobek počítáš.
Například nejmenší společný násobek čísel 5 a 6 je 30, žádné menší číslo dělitelné pěti i šesti zároveň neexistuje.

Největší společný dělitel

k procvičení: RULGAK

počítá se u dvou nebo i více čísel. Poznáš ho tak, že je to největší možné číslo, kterým jdou beze zbytku dělit všechna čísla ze skupiny čísel, jejichž největší společný dělitel počítáme.
Například největší společný dělitel čísel 50 a 60 je 10, žádné větší číslo, kterým jsou 50 i 60 dělitelná, neexistuje.

Nekladná čísla

jsou to všechna záporná čísla a číslo 0.

Nekonečně mnoho řešení u lineární nerovnice

když řešíš lineární nerovnici a neznámá se ti odečte („zmizí“), tak ti vyjde buď nějaká platná nerovnost (například \(0<4; 0≥-5; 0>-7; 0≤6\) ) nebo neplatná nerovnost (například \(0>4;0≤ -5;0<-7;0≥ 6\). Pokud vyjde nějaká platná nerovnost (bude pro ta dvě čísla platit), pak má tato nerovnice nekonečně mnoho řešení a řešením je celá množina reálných čísel. Pokud nastane druhý případ a vyjde neplatná nerovnost („nesmysl“), napíšeš, že nerovnice nemá řešení (tj. řešením je prázdná množina).

Nekonečně mnoho řešení u lineární rovnice

když řešíš lineární rovnici a neznámá se ti odečte („zmizí“), tak ti vyjde buď 0=0, nebo 0= jakékoliv nenulové číslo (např. 0=-4). Pokud je to 0=0, pak má tato rovnice nekonečně mnoho řešení a řešením je celá množina reálných čísel (u rovnic s neznámou ve jmenovateli je třeba zapsat podmínky a ta čísla z množiny všech řešení vyloučit). Pokud nastane druhý případ (např. 0=-4), vyšla ti neplatná rovnost, škrtneš symbol „=“: \(0\not=-4)\) a napíšeš, že rovnice nemá řešení (tj. řešením je prázdná množina).

Nekonečno

Mínus nekonečno = nejmenší reálné "číslo", nejde ale říct přesně, které to je, protože ať napíšeš jakkoliv malé číslo, vždy najdeš ještě menší. Symbol je \(-\infty\).
Plus nekonečno = je označení pro největší reálné "číslo". Neni to konkrétní číslo, protože ať napíšeš jakkoliv velké číslo, vždy najdeš ještě větší. Symbol je \(+\infty\).

Nemá řešení

Rovnice nemá řešení = neexistuje žádné číslo, pro které by se po dosazení za neznámou rovnala levá strana pravé.

Nepravý zlomek

poznáš podle toho, že číslo nahoře (čitatel) je větší než číslo dole (jmenovatel). Dá se to poznat i podle toho, že velikost nepravého zlomku je větší než 1.
Například zlomek \(\frac{7}{5}\) - jeho čitatel je 7 a jmenovatel 5, číslo 7 je větší než 5, proto to je nepravý zlomek. Pokud to budeš zjišťovat pomocí velikosti, pak jeho velikost je 1,4, a to je opravdu větší než 1. Ale například zlomek \(\frac{3}{10}\)– jeho čitatel je 3 a jmenovatel 10, číslo 3 je menší než 10, proto to není nepravý zlomek, ale pravý zlomek. Pokud budeš zjišťovat pomocí velikosti, pak jeho velikost je 0,3, a to není větší než 1.

Nepřímá úměrnost

k procvičení: TLEHUG

je to funkce , která má předpis ve tvaru \(y=\frac{k}{x}\), kde k je libovolné nenulové číslo. Číslu k se říká koeficient nepřímé úměrnosti. Je to například funkce \(f:y=-\frac{3}{x}\), funkce \(g:y=\frac{0,2}{x}\). Jejich grafem je hyperbola. Z koeficientu k můžeš zjistit, ve kterých kvadrantech bude mít tato hyperbola své dvě větve („jak bude vypadat graf“) a její monotónnost. Pokud je koeficient k menší než 0, je graf této funkce ve II. a IV. kvadrantu a funkce je rostoucí, je-li koeficient k větší než 0, je graf této funkce v I. a III. kvadrantu a funkce je klesající. Funkce \(f:y=-\frac{3}{x}\) má graf funkce ve II. a IV. kvadrantu a tato funkce je rostoucí a funkce \(g:y=\frac{0,2}{x}\) má graf funkce v I. a III. kvadrantu a je klesající.

Nepřímo úměrné veličiny

k procvičení: TLEHUG

že jsou dvě veličiny nepřímo úměrné, to poznáš tak, že když jedna veličina (její hodnota) roste, tak druhá veličina (její hodnota) klesá.
Například: délka napouštění bazénu je nepřímo úměrná výkonu čerpadla (čím vyšší výkon, tím nižší čas potřebný k napuštění); délka ujeté vzdálenosti autem na plnou nádrž je nepřímo úměrná průměrné spotřebě benzínu na 100 km (čím vyšší je spotřeba, tím ujedeš kratší vzdálenost na plnou nádrž); doba, po kterou nám vydrží určité množství krmiva pro morčata je nepřímo úměrná počtu morčat, která doma máme (čím víc máme morčat, tím méně dní nám krmivo vydrží).

Nerovnice

jedná o zápis, kdy jsou dva výrazy spolu porovnávány. Má levou a pravou stranu a uprostřed je jeden ze znaků nerovnosti ≤ , ≥ , >,<. Existují různé typy nerovnic - např. lineární, kvadratická, nebo s neznámou ve jmenovateli. Hledat řešení nerovnice znamená najít hodnotu proměnné (v nerovnici jí říkáme "neznámá"), aby platilo, že po dosazení toho čísla za proměnnou (neznámou) vyjdou taková čísla, že nerovnost mezi pravou a levou stranou bude pravdivá (= platná).

Nerovnost

je to zápis, ve kterém najdeš znak nerovnosti \(<,>,≤,≥\).
Například \(2<5;5>2;4≤ 8;9≥ 7\) atd. Když je tam znak <,>, je to ostrá nerovnost. Když je tam znak \(≤,≥\), je to neostrá nerovnost a znamená to, že si ta dvě čísla mohou být i rovna (např. \(4≤ 4)\). Platná nerovnost je například 2<5, ale neplatná nerovnost je třeba 5<2.
POZOR: Často se plete, zda např. nerovnost \(4≤8\) je platná nebo neplatná. Podle zápisu \(4≤ 8\) má být číslo 4 menší nebo rovno číslu 8. A jak víš, číslo 4 je menší než číslo 8. Takže to platí, protože stačí, aby byla splněna jedna z těch podmínek (1. menší, 2. rovno).
Nerovnost může být zapsaná taky pomocí tzv. podmínky pro nějakou neznámou (u nerovnic) nebo proměnnou (u výrazů): například \(-1≤x<5 x<5;y≤ 8;-1≤ x<5\), atd.

Neryze periodická čísla

jsou to periodická čísla, která mají předperiodu a jejich perioda nezačíná tedy hned za desetinnou čárkou (na prvním desetinném místě = na místě desetin), ale na některém z dalších desetinných míst. Jsou to například čísla \(2,6\bar{3};-44,1\overline{32};0,56\overline{123}\).

Nesoudělná čísla

k procvičení: MAVSEC

je to taková skupina přirozených čísel (dvou, tří,…), která mají jediného společného dělitele, a tím je číslo 1. Nesoudělná čísla poznáš tak, že si vypíšeš nebo představíš u každého z těchto čísel všechny jeho dělitele. Potom hledáš, zda mají všechna čísla ve skupině nějakého společného dělitele. Pokud tam ale najdeš jenom číslo 1 a žádné jiné, jsou to čísla nesoudělná. Pokud najdeš více stejných dělitelů, pak jsou to čísla soudělná.
Například čísla 7 a 18 – dělitelé čísla 7 jsou 1 a 7; dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. Vidíš, že jediným společným dělitelem je číslo 1, proto jsou čísla 7 a 18 nesoudělná. Ale čísla 4 a 18 – dělitelé čísla 4 jsou 1, 2, 4; dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. Podíváš se na ty dělitele a vidíš, že tam mají stejná čísla 1 a 2. To znamená, že mají společné dva dělitele, proto jsou čísla 4 a 18 soudělná.

Neúplná kvadratická rovnice bez absolutního členu

k procvičení: MESAXT

je to rovnice ve tvaru \(ax^2+bx+c=0,a\not0,b\not0\). Jedná se o rovnici, ve které chybí absolutní člen (člen bez x, tedy v obecné kvadratické rovnici je c=0).
Například \(5x^2+6x=0;-x^2+20x=0;x^2-16x=0\).

Neúplná kvadratická rovnice bez lineárního členu

k procvičení: DEBASM

jinak se této rovnici říká ryze kvadratická. Je to rovnice ve tvaru \(ax^2+c=0,a\not=0\). Jedná se o rovnici, ve které chybí lineární člen (člen s x).
Například \(5x^2-9=0; -x^2+81=0; x^2-36=0 5x^2-9=0; -x^2+81=0; x^2-36=0\).

Nezáporná čísla

jsou to všechna čísla kladná a číslo 0.

Neznámá

je to to písmenko (nebo písmenka) ve všech možných typech rovnic a nerovnic. Smyslem řešení těchto rovnic i nerovnic je zjistit pomocí ekvivalentních úprav, která čísla se právě místo neznámých mají dosadit, aby vyšlo, že si jsou číselně rovny strany levá a pravá.
Například v rovnici 2x+9=3 je neznámá x; v rovnici \(-11-7y+3y-5=3\) je neznámá y.

Nultá mocnina

pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly (pro 0 to není definováno, na tom se matematici ještě nedohodli 😊) je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0 \).
Například \((-2)^0=1\); \(110^0=1\); \((-4,2)^0=1\); \((\frac{5}{7})^0=1\); \(1^0=1\).

Obecná kvadratická rovnice

k procvičení: KUXETN

jedná se o rovnici ve tvaru \(ax^2+bx+c=0\), kde \(a\not=0\) Jiný název je kvadratická rovnice. Její kořeny se vypočítají pomocí diskriminantu nebo pomocí jiných úprav, záleží na tom, zda jsou nenulové i koeficienty b,c. V každém případě (i když je b nebo c rovno nule) můžeš použít výpočet kořenů ve dvou krocích:
1. krok je výpočet diskriminantu \(D=b^2-4ac\). A potom \(x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\). Pro neúplné kvadratické rovnice (bez lineárního nebo absolutního členu) je tento výpočet pomocí diskriminantu trochu „nepraktický“, ale na 100 % funguje 😊.

Obor hodnot funkce

k procvičení: HUMEDK

značí se H(f) nebo Hf. Lidově řečeno, je to všechno, co můžeš získat jako hodnotu funkce (y), pokud za x dosadíš do daného předpisu funkce všechna čísla z definičního oboru funkce. Ty se zatím setkáš s tím, že budeš obor hodnot hledat z nakresleného grafu.

Obsah trojúhelníku

vzorec pro obsah S trojúhelníku je následující: \(S=\frac{a \cdot v_a}{2}=\frac{b \cdot v_b}{2}=\frac{c \cdot v_c}{2}\). Z těchto tří vzorců si vybereš podle toho, které údaje budeš k výpočtu obsahu znát. Pamatuj, že a,b,c jsou strany trojúhelníku a \(v_a,v_b,v_c\) jsou výšky na příslušné strany. U pravoúhlého trojúhelníku, kde a,b jsou odvěsny, tam použij vzorec \(S=\frac{a \cdot b}{2}\). Vychází to z toho, že u pravoúhlého trojúhelníku je jeho obsah vlastně roven polovině obsahu obdélníku se stranami a,b.

Odčítání

je to operace, která se značí symbolem „–„ (minus) a její výsledek je rozdíl. Číslo, od kterého odčítáš, se nazývá menšenec. Číslo, které odčítáš (o které původní číslo zmenšuješ), se nazývá menšitel.
Například: 8-6=2; 8 je menšenec, 6 je menšitel, 2 je rozdíl.

Odmocnina

k procvičení: NEKAHW

že se jedná o odmocninu poznáš podle tohoto symbolu, který najdeš v zadaném příkladu: √ \(\sqrt{16}\) nebo\(\sqrt[3]{125}\). V prvním případě je to symbol pro druhou odmocninu (například \(\sqrt{4}\); \(\sqrt{64}\); \(\sqrt{121})\) a ve druhém případě pro třetí odmocninu (například \(\sqrt[3]{8}\); \(\sqrt[3]{27}\); \(\sqrt[3]{64})\).

Odvěsny

k procvičení: AUXELD

to jsou ty strany v pravoúhlém trojúhelníku, které svírají pravý úhel (jsou na sebe kolmé). Jsou to tedy ty dvě kratší strany v pravoúhlém trojúhelníku. Ta nejdelší se nazývá přepona.

Omezená funkce

k procvičení: XUWEVH

tak nazveš každou funkci, která jej zároveň omezená zdola i shora.

Opačné číslo

k procvičení: LEVAJD

zjistíš ho velmi jednoduše: u původního čísla pouze změníš znaménko (z „-“ na „+“ nebo z „+“ na „-“).
Například číslo opačné k číslu 6 je -6, číslo opačné k číslu -15 je 15. Opačné číslo k 0 je 0.

Operace

Operace = početní operace, nebo operace s množinami.

Operace s množinami

k procvičení: DAHBEP

s množinami můžeš provádět také operace. Nejspíš potkáš tyto dvě operace: průnik a sjednocení. Zjistit průnik dvou množin znamená to, že projdeš u každé množiny jeden prvek po druhém a vybereš ty, které mají SPOLEČNÉ. Průnik množiny A a množiny B se zapíše pomocí symbolu \(\cap\) takto: \(A\cap B\). Zjistit sjednocení dvou množin znamená to, že projdeš u každé množiny jeden prvek po druhém a vybereš úplně všechny prvky, které „potkáš“. Pokud narazíš na prvek, který je v obou množinách, vezmeš ho jen jednou. Sjednocení množiny A a množiny B se zapíše pomocí symbolu \(\cup\) takto: \(A\cup B\).

Ortocentrum

je to průsečík všech tří výšek v trojúhelníku.

Osa x

to je vodorovná přímka, jejíž každý bod představuje nějaké reálné číslo. Na osu x se nanáší první (tj. x-ová) souřadnice bodu.
Například máme bod \(A[2;-5]\). Na ose x najdeme číslo 2. Spolu s osou y tvoří osa x v rovině osový kříž (kartézskou soustavu souřadnic).

Osa y

to je svislá přímka, jejíž každý bod představuje nějaké reálné číslo. Na osu y se nanáší druhá (tj. y-ová – čti „ypsilonová“) souřadnice bodu.
Například máme bod \(A[2;-5]\). Na ose y najdeme číslo -5. Spolu s osou x tvoří osa y v rovině osový kříž (kartézskou soustavu souřadnic). Obě osy jsou na sebe kolmé.

Osový kříž

jsou to dvě navzájem kolmé přímky v rovině – osa x a osa y. Každý bod na každé z těchto os představuje určité reálné číslo. Obě osy se protínají v bodě, který se nazývá počátek soustavy souřadnic a značí se O. Jeho souřadnice jsou O[0;0].

Ostroúhlý trojúhelník

poznáš podle toho, že má všechny tři vnitřní úhly ostré, tedy menší než 90°.

Otevřený interval

k procvičení: HEMALC

je to možnost jak zapsat podmnožinu reálných čísel, kdy znáš její „krajní čísla (body)“, ale ani jedno z těch krajních čísel tam nepatří. Napíšeš krajní čísla podle velikosti a použiješ kulaté závorky.
Například chceš zapsat všechna reálná čísla mezi čísly -7 a 2 bez těch krajních čísel -7 a 2. Napíšeš to menší číslo vždy doleva a větší doprava: (-7;2). Otevřený je i interval, kde se vyskytuje plus nekonečno či mínus nekonečno a krajní číslo (např. -7) tam nepatří.
Například intervaly \((-\infty;-7)\); \((-7;+\infty)\).

Parabola

k procvičení: BARUML

je symetrická křivka, která je grafem každé kvadratické funkce. Může být otočená směrem nahoru („mistička“), pak má funkce v nejnižším bodě minimum, nebo směrem dolů („kopeček“), pak má funkce v nejvyšším bodě maximum. Je-li v předpisu kvadratické funkce \(f:y=ax^2+bx+c\) koeficient a kladné číslo, pak má parabola tvar „mističky“, a je-li koeficient a záporné číslo, pak má parabola tvar „kopečku“.

Pátá mocnina

k procvičení: CETUDM

vypočítáš ji velmi jednoduše. Číslo, jehož pátou mocninu počítáš, prostě vynásobíš samo sebou pětkrát. Znač ji malou pětkou u čísla vpravo nahoře.
Například pátou mocninu čísla 2 napíšeš jako \(2^5\) a vypočítáš takto \(2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\). U záporného čísla nebo zlomku (kladného či záporného) musíš dát celé to číslo do závorky, například pátou mocninu čísla -3 napíšeš jako \((-3)^5\) a vypočítáš takto: \((-3)^5=(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-243\).
Pátou mocninu zlomku 2/3 napíšeš jako \((\frac{2}{3})^5\) a vypočítáš (\(\frac{2}{3})^5=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}^5=\frac{32}{243}\).

Perioda

k procvičení: REHGUM

je to číslo, nebo skupina čísel za desetinnou čárkou, která se pořád opakuje až do nekonečna. Periodu značíme vodorovnou čárou nad čísly, která se pořád opakují. Příkladem je číslo \(2,\bar{4}\) (čti „dvě celé čtyři periodické“) – tam je perioda číslo 4 a začíná hned za desetinnou čárkou. Proto je to číslo ryze periodické. V čísle \(32,\overline{56}\) (čti „třicet dva celých padesát šest periodických“) je také ryze periodické s periodou 56. Potkáš určitě i například číslo \(5,1\overline{32}\) (čti „jedna celá jedna desetina třicet dva periodických“), kde nezačíná perioda hned za desetinnou čárkou, ale až na druhém desetinném místě. Číslu 1 za desetinnou čárkou, které do periody nepatří, se říká předperioda. Číslo se nazývá neryze periodické.

Periodická čísla

k procvičení: REHGUM

je to podmnožina racionálních čísel. Jsou to čísla, která mají za desetinnou čárkou nějaké číslo nebo skupinu čísel, která se pořád opakuje až do nekonečna. Pojem, se kterým se v souvislosti s periodickými čísly setkáš, je perioda a předperioda. Periodu značíme vodorovnou čárou nad čísly, která se pořád opakují. Příkladem je číslo \(2,\bar{3}\)=2,33333333333… (čti „dvě celé tři periodické“) – tam je perioda číslo 3 a začíná hned za desetinnou čárkou. Proto je to číslo ryze periodické. V čísle \(32,\overline{45}\)=32,45454545454545… (čti „třicet dva celých čtyřicet pět periodických“) je také ryze periodické s periodou 45. Potkáš určitě i například číslo \(5,1\overline{23}=5,123232323232323232323…\) (čti „jedna celá jedna desetina dvacet tři periodických“), kde nezačíná perioda hned za desetinnou čárkou, ale až na druhém desetinném místě. Číslu 1 za desetinnou čárkou, které do periody nepatří, se říká předperioda. Číslo se nazývá neryze periodické.

Pěticiferné číslo

poznáš ho tak, že obsahuje pět cifer napsaných za sebou. První cifra není 0.
Například 24531, 73856, 98176. Jedná se o čísla od 10000 do 99999.
Někdy se můžeš setkat i s tím, že se pro přehlednost zapisuje pěticiferné číslo tak, že použiješ mezeru jako oddělovač tisíců. Pak můžeš vidět číslo 12345 zapsané jako 12 345

Plus nekonečno

chápej ho jako „největší reálné číslo“ ve smyslu, že větší číslo už nejde najít ani zapsat… má označení \(+\infty\) a ty ho uvidíš hlavně v zápisu intervalů.

Počátek soustavy souřadnic

je to průsečík osy x a osy y v soustavě souřadnic. Má souřadnice \([0;0]\), tedy x-ová i y-ová souřadnice je rovna 0.

Počet procent

k procvičení: KEXACV

vyjadřuje, kolik procent tvoří určitá procentová část ze základu. Chceš například zjistit, kolik procent je 30 ze 120. Máš více možností, jak to zjistit.
1. Základ (100 %) je 120, pak 1% je tedy 120:100=1,2. A pak spočítáš, kolikrát se to jedno procento vejde do 30, tedy \(30:1,2=25 %\).
2. Nebo jednoduše vypočítáš počet procent takto: \(\frac{30 (část)}{120 (základ)}\cdot100%=25%\). Toto používám já, přijde mi to rychlejší.

Početní operace

říkají ti, co máš s čísly dělat, jak máš s nimi pracovat. Základní početní operace jsou sčítání, odčítání, násobení a dělení. Platí, že násobení (symbol „\(\cdot\)“ krát) a dělení (symbol „\(:\)“ děleno) má přednost (prioritu) před sčítáním (symbol „+“ plus) a odčítáním (symbol „-“ mínus).

Podíl

výsledek operace dělení. Když vydělíš číslo číslem, výsledek je podíl. To číslo, které dělíš (to první číslo v zápisu dělení), se nazývá dělenec. Číslo, kterým dělíš (to druhé číslo za symbolem děleno) se nazývá dělitel.
Například 20:5=4; 20 je dělenec, 5 je dělitel, 4 je podíl, operace se nazývá dělení.

Podíl mocnin o stejném základu

k procvičení: BURAKC

máš-li vydělit spolu dvě mocniny o stejném základu (základ mocniny musí být stejné číslo), pak se spolu exponenty odčítají a základ zůstává stejný.
Například \(2^6:2^2=2^{6-2}=2^4\).
Další příklad je \(\frac{(-5)^5}{-5}=(-5)^5:(-5)^1=(-5)^{5-1}=(-5)^4\).

Podíl odmocnin

platí, že podíl druhých odmocnin je roven druhé odmocnině podílu, pro lepší pochopení to jde napsat takto: \(\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}\) nebo zapsáno pomocí zlomků \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Konkrétní příklad využití tohoto pravidla je, když neumíš vypočítat z hlavy druhé odmocniny jednotlivých čísel, ale umíš vypočítat z hlavy druhou odmocninu jejich podílu. Podívej: \(\sqrt{32}:\sqrt{2}=\sqrt{32:2}=\sqrt{16}=4\). To samé platí i pro třetí odmocniny.

Podmínky existence lomeného výrazu

k procvičení: MASUXT

když dostaneš lomený výraz, tak je potřeba si říct, kterému číslu (kterým číslům) se proměnná nesmí rovnat, protože ve jmenovateli nesmí být 0. Tím vlastně určíš podmínky existence lomeného výrazu, to znamená, pro které hodnoty proměnné má smysl vůbec výraz upravovat. Je to stejné, jako když určuješ definiční obor lomeného výrazu, jenom zápis je trochu jiný. U výrazu \(\frac{10+x}{x-4}\) je ve jmenovateli výraz x-4, který se nesmí rovnat nule, tedy \(x-4\not=0\), to znamená \(x\not=4\). Podmínky jsou tedy: \(x\not=4\). Ale definiční obor lomeného výrazu jsou všechna reálná čísla bez čísla 4. To zapíšeme takto: \(x\in R-\lbrace4\rbrace\). To znamená, že podmínky existence lomeného výrazu se zapíší jako čísla, kterým se proměnná rovnat nesmí. Ale definiční obor lomeného výrazu jsou všechna čísla, kterým se proměnná rovnat může.

Podmínky řešení rovnice

k procvičení: DUBECS

když dostaneš rovnici s neznámou ve jmenovateli, tak je potřeba si říct, kterému číslu (kterým číslům) se neznámá nesmí rovnat, protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula. Tím vlastně určíš podmínky řešení rovnice, to znamená, pro které hodnoty neznámé nemá smysl rovnici řešit. Je to stejné, jako když určuješ definiční obor rovnice, jenom zápis je trochu jiný. U rovnice \(\frac{2+x}{x-7}=1\) je ve jmenovateli výraz \(x-7\), který se nesmí rovnat nule, tedy \(x-7\not=0\), to znamená \(x\not=7\). Podmínky řešení rovnice se zapíší takto: \(x\not=7\). Definiční obor rovnice jsou tedy všechna reálná čísla bez čísla 7. To zapíšeme takto: \(x\in R-\lbrace7\rbrace\). To znamená, že definiční obor rovnice jsou všechna čísla, která neznámá může být, ale do podmínek řešení se zapíše, kterým číslům se neznámá rovnat nesmí.

Podmnožina

k procvičení: TUFHAS

je to množina, jejíž všechny prvky patří do nějaké jiné (často větší) množiny… Platí, že je-li prvek v podmnožině nějaké množiny, pak je i prvek v té množině.
Například jsou-li žlutá pastelka a červená pastelka prvky množiny B, která je podmnožinou množiny A, pak máme jistotu, že jsou také obě tyto pastelky prvkem samotné množiny A. To, že je množina B podmnožinou množiny A, zapíšeš takto pomocí symbolu \(\subset\) takto: \(B \subset A\cdot\)

Polouzavřený interval zleva

k procvičení: GACUDH

je to možnost, jak zapsat podmnožinu reálných čísel, kdy znáš její „krajní čísla (body)“ a pouze menší krajní číslo tam patří. Napíšeš krajní čísla podle velikosti a použiješ lomenou závorku u menšího čísla a kulatou u většího.
Například chceš zapsat všechna reálná čísla mezi čísly -10 a 1 včetně toho menšího čísla -10, ale bez čísla 1. Napíšeš to menší číslo vždy doleva a větší doprava: \(〈-10;1)\).
Polouzavřený interval zleva je i interval, kde se vyskytuje plus nekonečno a krajní číslo (např. -10) tam patří.
Například interval \(〈-10;+\infty)\).

Polouzavřený interval zprava

k procvičení: KEXAND

je to možnost jak zapsat podmnožinu reálných čísel, kdy znáš její „krajní čísla (body)“ a pouze větší krajní číslo tam patří. Napíšeš krajní čísla podle velikosti a použiješ kulatou závorku u menšího čísla a lomenou u většího.
Například chceš zapsat všechna reálná čísla mezi čísly -9 a 3 bez toho menšího čísla -9, ale včetně většího čísla 3. Napíšeš to menší číslo vždy doleva a větší doprava: \((-9;3〉\).
Polouzavřený interval zprava je i interval, kde se vyskytuje mínus nekonečno a krajní číslo (např. -9) tam patří.
Například interval \((-\infty;-9〉\).

Poměr v základním tvaru

k procvičení: VUSFAG

je to takový tvar poměru (postupného poměru), kdy jsou čísla v poměru (postupném poměru) přirozená čísla, která jsou nesoudělná. Setkáš se s tím, že budeš libovolný poměr nebo postupný poměr upravovat na poměr v základním tvaru. U poměru dvou čísel je to podobné, jako když krátíš zlomky na základní tvar.
Například máš převést poměr 36 : 15 na poměr v základním tvaru. Představíš si zlomek \(\frac{36}{15}\) a krátíš: \(\frac{36}{15}=\frac{36:3}{15:3}=\frac{12}{5}\). Převedeno zpět na poměr je to 12 : 5, a 12 a 5 jsou čísla nesoudělná, 12 : 5 je poměr v základním tvaru. Další příklad: postupný poměr \(\frac{2}{3}:\frac{3}{5}:\frac{1}{15}\) máš zkrátit na základní tvar. Nejprve se „zbavíš“ jmenovatelů (postupný poměr rozšíříš 15) \((\frac{2}{3}\cdot15):(\frac{3}{5}\cdot15):(\frac{1}{15}\cdot15=10:9:1\). Čísla 10, 9 a 1 jsou čísla nesoudělná, a proto poměr 10∶9∶1 je v základním tvaru.

Poměr

k procvičení: TELHUX

jsou to dvě kladná čísla (u postupného poměru tři a více čísel) oddělená od sebe symbolem, kterým označuješ dělení (:). Tento symbol ale v poměru čteme „ku“. Poměr nám vyjadřuje, kolik dílů přísluší které části celku.
Například poměr počtu chlapců ku počtu děvčat je 2 : 3 (čti „dvě ku třem“) říká, že z celkem pěti (2 + 3 = 5) dílů přísluší 2 díly chlapcům (\(\frac{2}{5}\)z dětí jsou chlapci) a 3 díly děvčatům (\(\frac{3}{5}\) z dětí jsou děvčata). Budeme-li mít například 10 dětí a počet chlapců ku počtu děvčat bude v poměru \(2:3\), tak víme, že 1 díl je \(10:5=2\). Počet chlapců jsou dva díly, tedy \(2.2=4\), a počet děvčat jsou 3 díly, tj. \(2.3=6\). Symbol „ku“ (:) taky můžeš chápat jako zlomkovou čáru. Můžeš si to také představit tak, že z poměru 2 : 3 je jasné, že počet chlapců je \(\frac{2}{3}\) „krát“ počet dívek. A z pohledu dívek (druhé číslo v poměru) je počet dívek \(\frac{3}{2}\) „krát“ počet chlapců. V poměru velmi záleží na pořadí. Je potřeba ho přesně dodržovat. Poměr (i postupný poměr) můžeš krátit, rozšiřovat a hledat jeho základní tvar. Dále můžeš rozdělovat v určitém poměru nebo zmenšovat či zvětšovat v určitém poměru.

Porovnávání čísel

k procvičení: PUKNAJ

když máš porovnat dvě čísla, vlastně rozhoduješ, které číslo z těch dvou je větší. Používají se k tomu znaky nerovnosti (z nich se užívají symboly <,> ). Při porovnávání kladného a záporného čísla je jasně větší to kladné.
Například 5 a -3, číslo 5 je větší než -3 (napíšeš 5 > -3). Když jsou obě čísla kladná, je větší to, které je dál od nuly na číselné ose („je to větší počet“).
Například 10 a 20, číslo 20 je větší (zapíšeš 10 < 20). Pokud jsou obě čísla záporná, tak je větší to, které je tak zvaně „méně do mínusu“ (je blíže nule na číselné ose).
Například čísla -11 a -50. Číslo -11 je méně do mínusu (pouze 11 jednotek) oproti číslu -50. Proto je číslo -11 větší (zapíšeš -11>-50).

Porovnávání zlomků

k procvičení: FULPAW

dva zlomky se porovnávají tak, že nejprve zkontroluješ znaménko před oběma zlomky. Je-li jeden zlomek kladný a druhý záporný, pak je jasně větší ten kladný (například \(\frac{5}{6}\) a \(-\frac{2}{3}\), tam je větší kladný zlomek \(\frac{5}{6}\), zapsané pomocí znaku nerovnosti \(\frac{5}{6}>-\frac{2}{3}\)). Pokud jsou oba zlomky kladné, nebo oba zlomky záporné, použij křížové pravidlo. U zlomků \(\frac{5}{6}\) a \(\frac{2}{3}\) vynásobíš prvního čitatele s druhým jmenovatelem (tj. \(5.3=15\)) a vynásobíš druhého čitatele s prvním jmenovatelem (tj. \(2.6=12\). Protože 15 je větší než 12 (15 > 12), je zlomek \(\frac{5}{6}\) větší než \(\frac{2}{3}\) (zapíšeš \(\frac{5}{6}>\frac{2}{3}\) ). U zlomků \(-\frac{5}{6}\) a \(-\frac{2}{3}\) vynásobíš prvního čitatele s druhým jmenovatelem (tj. 5 . 3 = 15) a vynásobíš druhého čitatele s prvním jmenovatelem (tj. \(2.6=12\). Ale pozor: Oba zlomky jsou záporné, proto musíš porovnat čísla -15 a \(-12 \cdot -15\) je menší než -12 (-15 < -12), je zlomek \(-\frac{5}{6}\) menší než \(-\frac{2}{3}\) (zapíšeš \(-\frac{5}{6}<-\frac{2}{3}\)).

Postupné vytýkání

k procvičení: MESUPA

je to jedna z metod úpravy na součin. Tato úprava je docela složitá. Na základce stačí, když budeš umět upravit pomocí postupného vytýkání čtyřčlen na součin dvou dvojčlenů. Na jednom příkladu ti ukážu, jak na to. Máš za úkol rozložit na součin čtyřčlen \(6-3x^2+8x-4x^3\). Představíš si, že první dva a další dva členy jsou uzávorkované: \(6-3x^2+8x-4x^3=(6-3x^2)+(8x-4x^3)\) a vytkneš z každé závorky „vše, co jde vytknout“: \(3\cdot(2-x^2)+4x\cdot(2-x^2)\). Tohle je těžké v tom, že je potřeba vytknout to tak „šikovně“, aby ti vznikly stejné závorky. Tady vznikla v obou částech závorka \(2-x^2\). A ve druhém kroku tuto závorku vytkneš a do druhé závorky zase „posbíráš zbytky“ 😊. Vyjde: \((2-x^2)\cdot(3+4x)\). Vidíš, že výsledek je ve tvaru součinu dvou dvojčlenů a použili jsme postupné vytýkání.

Postupný poměr

k procvičení: BENRUF

jedná se o tři a více kladných čísel, mezi kterými je symbol „ku“ (:).
Například poměr počtu žáků, kteří se učí anglicky ku počtu žáků, kteří se učí německy ku počtu žáků, kteří se učí španělsky, je 2 : 3 : 5. Znamená to, že 2 díly z celkových 10 dílů (2 + 3 + 5 = 10) tvoří žáci, co se učí anglicky, tedy \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\) z celkového počtu žáků se učí anglicky; 3 díly z celkem 10, tedy \(\frac{3}{10}\) z celkového počtu žáků se učí německy; 5 dílů z 10 se učí španělsky, tj. \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). Postupný poměr můžeš krátit, rozšiřovat a hledat jeho základní tvar. Dále můžeš rozdělovat v určitém postupném poměru.

Pravá strana rovnice

je to celý výraz umístěný v zápisu rovnice napravo od symbolu „=“.
V rovnici 2x+5=3 je pravá strana 3; v rovnici -9-2y+3y-5=-3y+6 je pravá strana rovna -3y+6. Značí se P – například u zkoušky.

Pravoúhlý trojúhelník

je to trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel roven 90°, to znamená pravý. Další dva vnitřní úhly jsou pak ostré (menší než 90°). Strana proti pravému úhlu se nazývá přepona, strany, které pravý úhel svírají, jsou odvěsny. Pouze v pravoúhlém trojúhelníku můžeš použít Pythagorovu větu.

Pravý zlomek

poznáš podle toho, že číslo nahoře (čitatel) je menší než číslo dole (jmenovatel). Dá se to poznat i podle toho, že velikost pravého zlomku je menší než 1.
Například zlomek \(\frac{3}{5}\) – jeho čitatel je 3 a jmenovatel 5, číslo 3 je menší než 5, proto je to pravý zlomek. Pokud budeš zjišťovat pomocí velikosti, pak jeho velikost je 0,6, a to je opravdu menší než 1. Ale zlomek \(\frac{7}{4}\) - jeho čitatel je 7 a jmenovatel 4, číslo 7 je větší než 4, proto to není pravý zlomek, ale nepravý zlomek. Pokud budeš zjišťovat pomocí velikosti, pak jeho velikost je 1,75, a to není menší než 1.

Prázdná množina jako řešení nerovnice

k procvičení: HAMUKC

když řešíš lineární nerovnici a neznámá se ti odečte („zmizí“), tak ti vyjde buď nějaká platná nerovnost (například \(0<5;0≥ -9;0>-1;0≤ 8\) nebo neplatná nerovnost (například \(0>5;0≤-9;0<-1;0≥8\). Pokud ti vyjde neplatná nerovnost („nesmysl“), napíšeš, že nerovnice nemá řešení (tj. řešením je prázdná množina). Pokud vyjde nějaká platná nerovnost (bude pro ta dvě čísla platit), pak má tato nerovnice nekonečně mnoho řešení a řešením je celá množina reálných čísel.

Prázdná množina jako řešení rovnice

když řešíš lineární rovnici a neznámá se ti odečte („zmizí“), tak ti vyjde buď 0=0, nebo 0= jakékoliv nenulové číslo (např. 0=-5). Pokud nastane druhý případ (např. 0=-5), vyšla ti neplatná rovnost, škrtneš symbol „=“ ( \(0\not=-5\) ) a napíšeš, že rovnice nemá řešení (tj. řešením je prázdná množina). Pokud vyjde 0=0, pak má tato rovnice nekonečně mnoho řešení a řešením je celá množina reálných čísel (u rovnic s neznámou ve jmenovateli je třeba zapsat podmínky a ta čísla z množiny všech řešení vyloučit).

Prázdná množina

k procvičení: SAKLED

je to množina, která neobsahuje vůbec žádný prvek. Můžeš ji zapsat dvěma způsoby. Symboly pro prázdnou množinu jsou: \(\emptyset\), nebo \(\lbrace\rbrace\).
POZOR: Prázdnou množinu nelze zapsat takto: \(\lbrace \emptyset \rbrace\), protože tento zápis znamená množinu, která obsahuje prázdnou množinu, takže vlastně není prázdná.

Priorita operací

k procvičení: HAPMEC

s tímto pojmem se setkáš v souvislosti s předností početních operací. Vždy má přednost (prioritu) operace násobení a dělení před sčítáním a odčítáním. Pokud je příklad, kde pouze násobíš a dělíš, postupuješ v počítání postupně směrem zleva doprava. Pokud jsou v příkladu závorky, přednost (prioritu) mají nejprve číselné výrazy v závorkách (od vnitřku k vnějšku) a v rámci těchto závorek platí opět přednost násobení a dělení před sčítáním a odčítáním.

Procento

k procvičení: LUMVAR

jedno procento (znač 1 %) vypočítáš tak, že spočítáš jednu setinu (zlomkem \(\frac{1}{100}\)) z nějakého celku. Jeden celek je \(\frac{100}{100}=1\), a tedy celek vyjádřený v procentech představuje 100 %. U procent říkáme celku základ.

Procentová část

k procvičení: SELAUC

procentovou část určuješ, když máš za úkol vypočítat určitý počet procent z nějakého základu.
Například máš určit 25 % ze 120. Máš několik možností výpočtu. Uvedu dvě.
1. způsob: Vypočítáš jedno procento, když 120 je základ, tedy 100 %. Jedno procento 1 % = 120 : 100 = 1,2. Máš určit 25 %, takže vynásobíš to 1 %, tedy 1,2, číslem 25. Procentová část je 1,2 . 25 = 30.
2. způsob: 25 % ze 120 je vlastně \(\frac{25}{100}\cdot120=30\). Pokud raději počítáš se zlomky a umíš je rychle krátit, doporučuji tento druhý postup.

Proměnná

je písmenko v algebraickém výrazu.
Například ve výrazu 2a je proměnná a, ve výrazu \(4x^2-2x+3\) je proměnná x a ve výrazu \(-\frac{5+b-a}{x}\) je více proměnných, a to a, b, x.

Promile

k procvičení: DVESUL

jedno promile (znač 1 ‰) vypočítáš tak, že spočítáš jednu tisícinu (zlomkem \(\frac{1}{1000}\)) z nějakého celku. Jeden celek je \(\frac{1000}{1000}=1\), a tedy celek vyjádřený v promile představuje 1000 ‰. Základ je tedy 1000 ‰.

Prostá funkce

je to funkce, u které nikdy nenajdeš, že by dvěma různým číslům x náleželo stejné číslo y. Tedy že nikdy nedojde k tomu, že by se vyskytla pro dvě různá x stejná hodnota.
Například funkce \(f:y=x^2\). Tam když dosadíš číslo 1 i -1, pak dostaneš stejný výsledek: \(f(1)=1\). Dvě různá x mají stejnou hodnotu, proto tato funkce \(y=x^2\) není prostá. Pokud vezmeš funkci y=x, tam nikdy nenastane, že by dvě různá x měla stejné y. Proto je tato funkce prostá. Z grafu funkce poznáš prostou funkci podle tužky, kterou jedeš po papíře zezdola nahoru (kolmo na osu y). Pokud ti tužku neprotne graf funkce ve více než jednom bodě, pak je funkce prostá. Pokud se protne graf funkce ve více než jednom bodě, funkce není prostá.

Průnik

k procvičení: FEDPUH

je to množinová operace. Zjistit průnik dvou množin znamená to, že projdeš u každé množiny jeden prvek po druhém a vybereš ty, které mají SPOLEČNÉ. Průnik množiny A a množiny B se zapíše pomocí symbolu \(\cap\) takto: \(B\cap A\).

Průsečík grafu funkce s osou x

k procvičení: RVAGED

ať má funkce jakýkoliv předpis, průsečík s osou x dostaneš vždy tak, že za y dosadíš nulu (y = 0) a řešíš rovnici, ze které ti vyjde x. Pokud nebude mít rovnice řešení, pak nemá funkce průsečík s osou x. U většiny funkcí, které poznáš, dostaneš právě jedno řešení – právě jeden průsečík (u lineární funkce a přímé úměrnosti). Můžeš klidně získat i dvě řešení (dva průsečíky), a to u kvadratické funkce. Pokud ti vyjde při řešení rovnice například \(x=4\), pak průsečík s osou x má souřadnice \(P_x[4;0]\), protože y-ová souřadnice je 0.

Průsečík grafu funkce s osou y

k procvičení: SBULAH

ať má funkce jakýkoliv předpis, průsečík s osou y dostaneš vždy tak, že do předpisu za x dosadíš nulu (x = 0) a řešíš rovnici, ze které ti vyjde y. Pokud nebude mít rovnice řešení, pak nemá funkce průsečík s osou y. U většiny funkcí, které poznáš, dostaneš právě jedno řešení – právě jeden průsečík (u lineární funkce a přímé úměrnosti, u kvadratické funkce). Pokud ti vyjde při řešení rovnice například \(y=5\), pak průsečík s osou y má souřadnice \(P_y[0;5]\), protože x-ová souřadnice je 0.

Prvek množiny

k procvičení: RESGUN

je jedno číslo z množiny obsahující čísla, jeden předmět z množiny obsahující pastelky, knihy, bonbony, …, jeden člověk z množiny obsahující osoby. Jestliže chceš zapsat, že třeba číslo 5 patří do množiny A, tak zapíšeš pomocí symbolu \(\in\) takto: \(5 \in A\)

Prvočíselný rozklad

k procvičení: PUVNAM

jinak se tomu také říká rozklad na prvočísla. Když tvoříš prvočíselný rozklad, musíš číslo rozložit na součin samých prvočísel. Pokud je číslo prvočíslo, tak nelze více rozložit na součin prvočísel. Pokud je to složené číslo, pak ho můžeš rozložit na součin alespoň dvou prvočísel.
Například 17 je prvočíslo, nemůžu dál rozložit, ale 20 je číslo složené, tedy (20=4\cdot5=2\cdot2\cdot5) je prvočíselný rozklad čísla 20.

Prvočíslo

k procvičení: HALMEB

je to přirozené číslo, které má přesně dva dělitele. Je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou.
Například číslo 19 můžeš opravdu beze zbytku vydělit číslem 1 a číslem 19, ale žádným jiným. Číslo 12 můžeš beze zbytku vydělit čísly 1, 2, 3, 4, 6, 12, a proto to není prvočíslo, ale složené číslo.

Přednost operací

k procvičení: PAKVEL

s tímto pojmem se setkáš v souvislosti s prioritou početních operací. Vždy má přednost (prioritu) operace násobení a dělení před sčítáním a odčítáním. Pokud je příklad, kde pouze násobíš a dělíš, postupuješ v počítání postupně směrem zleva doprava. Pokud jsou v příkladu závorky, přednost (prioritu) mají nejprve číselné výrazy v závorkách (od vnitřku k vnějšku) a v rámci těchto závorek platí opět přednost násobení a dělení před soucet a odčítáním.

Předperioda

je to číslo, nebo skupina čísel v periodickém čísle hned za desetinnou čárkou, která do periody nepatří.
Například u čísla \(5,1\overline{23}\) (čti „jedna celá jedna desetina dvacet tři periodických“), vidíš, že perioda nezačíná hned za desetinnou čárkou, ale až na druhém desetinném místě. Číslu 1 za desetinnou čárkou, které do periody nepatří, se říká předperioda.

Předpis funkce

k procvičení: NSEKUF

jedná se o jednu možnost, jak dostaneš zadanou funkci. Vlastně podle předpisu počítáš čísla y, která jsou přiřazená číslům x. Dosazením čísel do tohoto předpisu za x jednoduše získáš hodnoty funkce v bodech (výsledek je vždy číslo y). Předpisem je například zadaná funkce g: y = x – 3. Pak pro x = 1 dostaneš y = 1 – 3 = -2, pro x = 3 dostaneš y = 3 – 3 = 0, atd. Jinak můžeš také říkat místo předpis funkce rovnice funkce, nebo vzorec funkce. Význam je stejný.

Přepona

k procvičení: NUKEJW

je to nejdelší strana v pravoúhlém trojúhelníku. Leží proti pravému úhlu (90°). Další dvě strany tohoto trojúhelníku se nazývají odvěsny.

Převrácené číslo

převrácené číslo dostaneš tak, že u něho zaměníš čitatele se jmenovatelem. Pokud máš napsat převrácené číslo k celém číslu, tak si ho představíš jako zlomek.
Například číslo 5 je rovno \(\frac{5}{1}\). Číslo k němu převrácené je\(\frac{1}{5}\). Když máš číslo (zlomek) \(\frac{2}{3}\), tak číslo k němu převrácené je \(\frac{3}{2}\).

Převrácený poměr

k procvičení: VNEFUG

převrácený poměr dostaneš tak, že zaměníš pořadí čísel v původním poměru. Pokud máš napsat převrácený poměr k poměru 5 : 1, tak přehodíš čísla 5 a 1 a dostaneš 1 : 5. Když máš poměr 2 : 3, tak poměr k němu převrácený je 3 : 2.

Přímá úměrnost

k procvičení: NSEKUF

je to speciální případ lineární funkce s předpisem (rovnicí, vzorcem) \(y=a \cdot x\) (zkráceně \(y=ax\). Za a můžeš dosadit libovolné reálné číslo kromě nuly. Jsou to například funkce \(y=2x; y=-x; y=-3x; y=0,2x\). Grafem přímé úměrnosti je vždy přímka procházející počátkem soustavy souřadnic. Přímá úměrnost je funkce je rostoucí, je-li a kladné číslo (a > 0) a klesající, je-li a záporné číslo (a < 0). Z výše uvedených funkcí jsou rostoucí \(y=2x; y=0,2x\). Klesající jsou \(y=-x; y=-3x\).

Přímo úměrné veličiny

k procvičení: NSEKUF

že jsou dvě veličiny přímo úměrné, to poznáš tak, že když jedna veličina (její hodnota) roste, tak roste stejnoměrně i veličina druhá (její hodnota).
Například: cena jablek je přímo úměrná počtu nakoupených kilogramů jablek; délka ujeté vzdálenosti autem je přímo úměrná době, kterou auto jede (jede-li pořád stejnou rychlostí); tržba za divadelní představení je přímo úměrná počtu prodaných lístků (má-li každý lístek stejnou cenu).

Přirozená čísla

k procvičení: SAVLEN

jsou to všechna čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Poznáš je podle toho, že neobsahují desetinnou čárku a vyjadřují nám vlastně počet nějakých objektů (předmětů, osob, …). Množina přirozených čísel se značí písmenem N.

Pythagorova věta

k procvičení: BERAWC

můžeš ji použít pouze u pravoúhlého trojúhelníku. V žádném jiném trojúhelníku nefunguje. Pokud jsou a,b odvěsny a c je přepona, pak platí: \(c^2=a^2+b^2\). Z tohoto vzorce vypočítáš přeponu. Budeš-li počítat odvěsnu a, pak použiješ tuto podobu Pythagorovy věty: \(a^2=c^2-b^2\). Budeš-li počítat odvěsnu b, pak použiješ tuto podobu Pythagorovy věty: \(b^2=c^2-a^2\). U Pythagorovy věty dej velký pozor, ať ti neudělá její formulace problémy! V pravoúhlém trojúhelníku vždy platí, že „nejdelší strana na druhou je rovna první odvěsna na druhou plus druhá odvěsna na druhou“, a je praktičtější si pamatovat tuto slovní formulaci. Totiž když se přepona bude jmenovat třeba b, tak budeš muset použít tento vzorec: \((b^2=a^2+c^2)\), abys to vypočítal/a správně.

Racionální čísla

k procvičení: LEXVUK

jsou to úplně všechna čísla, která můžeš zapsat zlomkem. Množina racionálních čísel se značí Q. Patří sem čísla celá (například -5, 0, 10), kladné zlomky a smíšená čísla (například \(1\frac{2}{5},\frac{8}{11},\frac{4}{7}\)), záporné zlomky a smíšená čísla (například \(-\frac{5}{2},-1\frac{1}{7},-\frac{4}{11}\), kladná desetinná čísla (2,5; 3,98; 0,0007), záporná desetinná čísla (-2,15; -3,8; -0,0307), periodická čísla \(2,\overline{3}; -32,\overline{45}; 5,1\overline{23}\) .

Reálná čísla

jsou to všechna racionální i iracionální čísla dohromady. Množinu všech reálných čísel značíme R.

Rostoucí funkce

k procvičení: GECAMF

existuje velmi přesná definice rostoucí funkce, pro naše účely si představ, že jdeš zleva doprava po grafu funkce (po té křivce). Pokud směrem zleva doprava „jdeš do kopce“, funkce je rostoucí. Samozřejmě můžeš jít pouze určitý úsek zleva doprava do kopce. Pak je funkce, kterou zkoumáš, rostoucí jen na tom intervalu (pro taková x), na kterém jdeš do kopce.

Rovnice

Rovnost dvou výrazů. Má levou a pravou stranu a uprostřed je =. Existují různé typy rovnic - např. lineární, kvadratická, s neznámou ve jmenovateli.
Hledat řešení rovnice znamená najít hodnotu proměnné (v rovnici jí říkáme "neznámá"), aby platilo, že po dosažení toho čísla za proměnnou bude na levé i na pravé straně vycházet stejné číslo.

Rovnice funkce

k procvičení: TLEHUG

jedná se o jednu možnost, jak dostaneš zadanou funkci. Vlastně z rovnice funkce počítáš čísla y, která jsou přiřazená číslům x. Dosazením čísel do této rovnice za x jednoduše získáš hodnoty funkce v bodech (výsledek je y). Rovnicí je například zadaná funkce \(g: y=x–4\). Pak pro x = 1 dostaneš y = 1 – 4 = -3, pro x = 3 dostaneš y = 3 – 4 = -1, atd. Jinak můžeš také říkat místo rovnice funkce předpis funkce, nebo vzorec funkce. Význam je stejný.

Rovnice ryze kvadratická

k procvičení: GUCEFN

jinak se této rovnici říká neúplná kvadratická rovnice bez lineárního členu. Je to rovnice ve tvaru \(ax^2+c=0,a\not=0\). Jedná se o rovnici, ve které chybí lineární člen (člen s x).
Například \(5x^2+6=0;-x^2+20=0;x^2-16=0\).

Rovnice s neznámou ve jmenovateli

k procvičení: GACUMF

toto je trochu těžší rovnice, kdy ve jmenovateli zlomku najdeš neznámou. U tohoto typu rovnice je potřeba si nejprve stanovit podmínky řešení rovnice (definiční obor rovnice), abys na konci řešení mohl/a zkontrolovat, jestli ti náhodou nevyšlo číslo, které za neznámou dosadit nesmíš z toho důvodu, že by ve jmenovateli vyšla 0 (viz podmínky). Rovnice s neznámou ve jmenovateli může vést buď k lineární, nebo ke kvadratické rovnici (jiné těžší rovnice na základce nepotkáš). Příkladem této rovnice je: \(\frac{2+x}{x-5}=6\), kde neznámá x je ve jmenovateli.

Rovnoramenný trojúhelník

poznáš ho podle toho, že ze tří stran jsou si dvě stejně dlouhé (těm stranám říkej ramena) a třetí strana má jinou délku než ramena (té se říká základna). Zajímavá vlastnost rovnoramenného trojúhelníku je, že výška na základnu půlí základnu.

Rovnostranný trojúhelník

poznáš ho podle toho, že má všechny tři strany stejně dlouhé („má si rovné všechny strany“).

Rozdělení v daném poměru

k procvičení: RULGAP

tohle budeš potřebovat umět v situaci, kdy máš nějaký celek (určitý počet „něčeho“, úsečku určité délky, apod.) a máš ho rozdělit na dvě (u poměru) nebo více (u postupného poměru) částí.
Například budeme-li mít například 10 bonbónů a máme je rozdělit na dvě hromádky v poměru 2 : 3, tak víme, že 1 díl je \(10:5=2\). Počet bonbónů na první hromádce jsou dva díly, tedy \(2\cdot2=4\), a počet bonbónů na druhé hromádce jsou 3 díly, tj. \(2\cdot3=6\). Rozdělili jsme počet 10 v poměru 2 : 3. Další příklad: ve třídě je 30 žáků. Poměr počtu žáků, kteří se učí anglicky ku počtu žáků, kteří se učí německy ku počtu žáků, kteří se učí španělsky, je 2 : 3 : 5. máš určit počty žáků, kteří se učí jednotlivé jazyky. Celkem máme 10 dílů \((2+3+5=10)\). Jeden díl ze 30 žáků představuje \(30:10=3\) žáky. Anglicky se učí 2 díly, tedy \(3\cdot2=6\) žáků. Německy se učí 3 díly, tedy \(3\cdot3=9\) žáků. Španělsky se učí 5 dílů, tedy \(3\cdot5=15\) žáků. Rozdělili jsme počet 30 v postupném poměru \(2:3:5\).

Rozdíl

výsledek operace odčítání. Když odečteš od čísla číslo, výsledek je rozdíl. To číslo, od kterého odčítáš (to první číslo v zápisu odčítání), se nazývá menšenec. Číslo, které odčítáš (to druhé číslo za symbolem mínus) se nazývá menšitel.
Například 20-5=15; 20 je menšenec, 5 je menšitel, 15 je rozdíl, operace se nazývá odčítání.

Rozdíl čtverců

k procvičení: DUBAPX

je to jeden z algebraických vzorců, který vypadá následovně: \(A^2-B^2=(A-B)\cdot(A+B)\).
Například \(y^2-36=y^2-6^2=(y-6)\cdot(y+6)\). Tento vzorec je důležité umět používat, budeš ho hodně používat na střední. Také se tomuto vzorci říká rozdíl druhých mocnin.

Rozdíl druhých mocnin

k procvičení: GACEJB

je to jeden z algebraických vzorců, který vypadá následovně: \(A^2-B^2=(A-B)\cdot(A+B)\).
\(y^2-25=y^2-5^2=(y-5)\cdot(y+5)\). Tento vzorec je důležité umět používat, budeš ho hodně používat na střední. Také se tomuto vzorci říká rozdíl čtverců.

Rozšíření lomeného výrazu

k procvičení: TUHENG

je to vynásobení čitatele i jmenovatele stejným výrazem (ten výraz musí být nenulový).
Například když máš za úkol rozšířit zlomek \(\frac{2+a}{a-3}\) výrazem 4a, tak provedeš tuto operaci: \(\frac{2+a}{a-3}=\frac{(2+a)\cdot4a}{(a-3)\cdot4a}=\frac{8a+4a^2}{4a^2-12a}\). Rozšiřování se využívá při sčítání a odčítání lomených výrazů.

Rozšiřování poměru

k procvičení: LURVAM

poměrpoměr (i postupný poměr) rozšíříš určitým poměrkladným číslem tak, že každé číslo v tom poměru poměrvynásobíš tím zadaným kladným číslem.
Například poměr \(5:10\) máš rozšířit pěti – dostaneš \((5\cdot5):(10\cdot5)=25:50\). Nebo máš postupný poměr \(4:8:12\) rozšířit dvěma – dostaneš \((4cdot2):(8cdot2):(12cdot2)=8:16:24\).

Rozšiřování zlomků

k procvičení: SLUCAN

je to vynásobení čitatele i jmenovatele stejným číslem (kromě nuly).
Například když máš za úkol rozšířit zlomek \(\frac{2}{3}\) čtyřmi, tak provedeš tuto operaci: \(\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}\).

Rozvinutý zápis čísla

k procvičení: REVGUW

tento pojem pochopíš snadno. Máš přirozené číslo 2568 – to je klasický dekadický zápis čísla, které obsahuje dva tisíce, pět stovek, šest desítek a osm jednotek. Můžeš napsat jeho rozvinutý zápis takto: \(2568=2\cdot1000+5\cdot100+6\cdot10+8\cdot1\). Toto už znáš z prvního stupně. U desetinných čísel se rozvinutý zápis také dá napsat.
Například číslo 2,568 obsahuje dvě jednotky, pět desetin, šest setin a osm tisícin. Jeho rozvinutý zápis je \(2,568=2\cdot1+5\cdot0,1+6\cdot0,01+8\cdot0,001\).

Rychlost

k procvičení: FUPATL

značíme ji v a udává nám, jak daleko ujedeme (dráha \(s\)) za určitý čas \(t\). Vzorec pro výpočet rychlosti je \(v=\frac{s}{t}\). Nejčastěji se udává v jednotkách km/h (čti „kilometry za hodinu“) nebo v m/s (čti „metry za sekundu“). Je dobré znát převodní vztah mezi nimi. Když potřebuješ převést \(km/h\) na \(m/s\), vydělíš číslem 3,6. Když potřebuješ převést m/s na km/h, vynásobíš číslem 3,6. Setkáš se také s označením těchto jednotek takto ve zlomku: \(\frac{km}{h}\); \(\frac{m}{s}\).

Ryze periodická čísla

jsou to periodická čísla, která nemají žádnou předperiodu a jejich perioda začíná tedy hned za desetinnou čárkou (na prvním desetinném místě = na místě desetin).
Například jsou to čísla \(2,\bar{3};-44,\overline{32};0,\overline{123}\).

Řešení lineární nerovnice o jedné neznámé

k procvičení: FUPERL

lineární nerovnici řešíš úplně stejně jako lineární rovnici (pomocí ekvivalentních úprav). Jediné, na co si dát pozor je, když dělíš, nebo násobíš celou nerovnici záporným číslem! To musíš potom otočit znak nerovnosti takto:
\(≤\) na \(≥\)
\(≥\) na \(≤\)
\(<\) na \(>\)
\(>\) na \(<\).
Řešení nerovnice lze napsat nerovností (podmínkou pro neznámou), nebo intervalem. Speciálními případy jsou nerovnice, které nemají žádné řešení (řešením je prázdná množina) a nerovnice, které mají nekonečně mnoho řešení.

Řešení (myšleno u rovnice)

to je to číslo, které když dosadíš za neznámou do levé a pravé strany rovnice, tak ti vyjde stejný výsledek. Lineární rovnice může mít právě jedno řešení, žádné řešení, nebo nekonečně mnoho řešení. Kvadratická rovnice může mít právě jedno řešení, právě dvě řešení, nebo žádné řešení.

Římské číslice

k procvičení: PDUTBA

jsou to vlastně písmena, pomocí kterých se zapisují čísla. Používáme celkem sedm římských číslic (písmen): I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Pomocí přesných pravidel se pak sestavují z těchto číslic (písmen) čísla.

Sčítací metoda

k procvičení: XEWAJH

je to jedna z metod řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Postup je takový, že si nejprve pohledem na obě rovnice vybereš, kterou neznámou chceš „vyloučit“, tj. chceš upravit první i druhou rovnici tak, aby ti po sečtení obou rovnic vyšlo, že před tou neznámou bude 0. Jednu z těch rovnic nebo i obě rovnice musíš vynásobit vždy takovým číslem (každou rovnici jiným), aby před tou vybranou neznámou bylo v jedné rovnici číslo a ve druhé číslo opačné (v jedné stejné číslo s plusem, ve druhé s mínusem). Pak když se rovnice sečtou, vyjde ti tak jedna rovnice o jedné neznámé, kterou vyřešíš. Pak se vrátíš s tím číslem, které ti vyšlo, k jedné tebou vybrané původní rovnici, a dosadíš číslo, které ti vyšlo, a tím dostaneš rovnici zase s tou druhou neznámou, kterou jsi na začátku vyloučil/a. A budeš mít vyřešeno. Možná to teď zní hoooodně složitě, ale podívej se na příklad a určitě pochopíš lépe:
\(5x+2y=5\)
\(2x-y=2\)
Všimneš si, že u y je v jedné rovnici koeficient s „+“ a ve druhé s „-“. V první rovnici je před y číslo +2 a ve druhé -1. Pokud -1 vynásobíš číslem 2, dostaneš -2 a platí +2-2=0, tedy y se odečte. Druhou rovnici vynásobíš tedy dvěma, první necháš a dostaneš:
\(5x+2y=5\)
\(2\cdot2x-1\cdot2y=2\cdot2\)
to znamená:
\(5x+2y=5\)
\(4x-2y=4\)
Rovnice sečteš (jejich levé strany a jejich právě strany):
\(5x+4x+2y-2y=5+4\)
Dostaneš:
\(9x=9\)
\(x=1\)
Vybereš si třeba první původní rovnici
\(5x+2y=5\) a dosadíš za \(x=1\):
\(5\cdot1+2y=5\)
\(2y=5-5\)
\(2y=0\)
\(y=0\)
A máš vyřešeno sčítací metodou.

Sčítanec

číslo, které sčítáš s dalším číslem. V operaci sčítání se každé číslo ze skupiny čísel, která sčítáš, nazývá sčítanec. Výsledek operace sčítání je součet.

Sčítání

je to operace, která se značí symbolem „+“ (plus) a její výsledek je součet. Ta čísla, která spolu sčítáš, se nazývají sčítance.
Například 4+2=6; 4 a 2 jsou sčítance, 6 je součet.

Semilogaritmický tvar čísla

k procvičení: TUHEKS

tento pojem, který možná pro tebe zní jako zaříkávadlo 😊, znamená tvar zápisu čísla pomocí mocniny čísla 10. Používá se k tomu, aby se zkrátil zápis buď hodně velkého čísla, nebo hodně malého čísla (s tím se setkáš až na střední). Třeba číslo 12000000 se pomocí semilogaritmického tvaru vyjádří jako \(1,2\cdot10^7\). Aby to byl semilogaritmický tvar, první číslo vezmi vždy takové, aby bylo větší než 1, ale zároveň menší než 10.
Například se podívej, že platí: \(420000000=42\cdot10^7=4,2\cdot10^8\). Ovšem správný semilogaritmický tvar je \(4,2\cdot10^8\), i když i číslo \(42\cdot10^7\) je zápis stejného čísla.

Seřazení sestupně

k procvičení: CUMTAN

když máš seřadit čísla sestupně, tak to znamená od největšího čísla po nejmenší (první bude největší, poslední bude nejmenší).

Seřazení vzestupně

k procvičení: PUKNAJ

když máš seřadit čísla vzestupně, tak to znamená od nejmenšího čísla po největší (první bude nejmenší, poslední bude největší).

Setiny

k procvičení: TUCHAJ

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako druhé napravo, když počítáš zleva doprava, od desetinné čárky, to znamená u čísla 1234,68 je to číslo 8; u čísla 89 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, jsou tam za desetinnou čárkou samé 0…).

Shora omezená funkce

k procvičení: HUMEDK

taková je každá funkce, pro kterou platí, že její graf „nevyroste“ nad určitou hodnotu y. Vizuálně to tedy poznáš z obrázku grafu. To pro tebe bude nejjednodušší. Prakticky to vlastně znamená, že když budeš cokoliv z definičního oboru funkce dosazovat do předpisu funkce, nikdy ti nevyjde hodnota vyšší než nějaké určité číslo.
Například shora omezená je kvadratická funkce s předpisem \(f:y=-4x^2-2x+3\), protože \(a=-4<0\) a její graf (parabola) je proto ve tvaru „kopečku“.

Sjednocení

k procvičení: DAHBEP

je to množinová operace. Zjistit sjednocení dvou množin znamená to, že projdeš u každé množiny jeden prvek po druhém a vybereš úplně všechny prvky, které „potkáš“. Pokud narazíš na prvek, který je v obou množinách, vezmeš ho jen jednou. Sjednocení množiny A a množiny B se zapíše pomocí symbolu \(\cup\) takto: \(B\cup A\).

Složené číslo

k procvičení: GUSCAX

je to přirozené číslo, které má více než dva dělitele. Můžeš ho tedy vydělit číslem 1 a samo sebou, ale existují ještě další čísla, kterými můžeš toto číslo dělit se zbytkem 0.
Například číslo 18 můžeš beze zbytku vydělit číslem 1, 2, 3, 6, 9, 18, má tedy šest dělitelů, a proto je to složené číslo. Číslo 13 můžeš beze zbytku vydělit číslem 1 a číslem 13, ale žádným jiným, nemá více než dva dělitele, není to složené číslo, ale je to prvočíslo.

Složený zlomek

k procvičení: NEPKUH

poznáš ho tak, že uvidíš zlomek, který má v čitateli, ve jmenovateli, nebo v obou zlomek. Příkladem jsou složené zlomky \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{2}},\frac{\frac{4}{5}}{6},\frac{2}{\frac{3}{7}}\). Čáře, která rozděluje ty dva zlomky, se říká hlavní zlomková čára. Stejně jako u klasických zlomků má význam dělení.

Smíšené číslo

k procvičení: CENTUL

je to jeden z možných zápisů zlomků, které jsou větší než 1 celek (tj. nepravých zlomků). Smíšené číslo zapisuj jako počet celků a zbytek (pravý zlomek).
Takže když budeš mít zlomek \(\frac{7}{4}\), vidíš, že je to zlomek větší než 1 celek, vydělíš \(7:4=1, zb. 3\). A tak převedeš na smíšené číslo \(1\frac{3}{4}\) (čti „jedna a tři čtvrtiny“).
Další příklad smíšeného čísla je \(2\frac{1}{3}\) (čti „dvě a jedna třetina“). Pokud budeš z tohoto smíšeného čísla chtít udělat zlomek, podívej, jak se to dělá: \(2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3}\).

Součet

výsledek operace sčítání. Když sečteš dvě čísla, výsledek je součet. Ta čísla, která sčítáš, se nazývají sčítance.
Například 2+5=7; 2 a 5 jsou sčítance, 7 je součet, operace se nazývá sčítání.

Součin

výsledek operace násobení. Když vynásobíš dvě čísla, výsledek je součin. Ta čísla, která násobíš, se nazývají činitelé.
Například \(2\cdot5=10\); 2 a 5 jsou činitelé, 10 je součin, operace se nazývá násobení.

Součin mocnin o stejném základu

k procvičení: DUBALG

máš-li vynásobit spolu dvě mocniny o stejném základu (základ mocniny musí být stejné číslo), pak se spolu exponenty sčítají a základ zůstává stejný.
Například \(2^3\cdot2^5=2^{3+5}=2^8\). Nebo \((-5)\cdot(-5)^5=(-5)^1\cdot(-5)^5=(-5)^{1+5}=(-5)^6\).

Součin odmocnin

platí, že součin druhých odmocnin je roven druhé odmocnině součinu, pro lepší pochopení to jde napsat takto: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\). Konkrétní příklad využití tohoto pravidla je, když neumíš vypočítat z hlavy druhé odmocniny jednotlivých čísel, ale umíš vypočítat z hlavy druhou odmocninu jejich součinu. Podívej: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4 \). To samé platí i pro třetí odmocniny.

Soudělná čísla

k procvičení: CUBTAW

je to taková skupina přirozených čísel (dvou, tří,…), která mají společného dělitele 1 a ještě navíc nějaké další jiné číslo nebo více čísel. Soudělná čísla poznáš tak, že si vypíšeš nebo představíš u každého z těchto čísel všechny jeho dělitele. Potom hledáš, zda mají všechna čísla ve skupině nějakého společného dělitele. Pokud najdeš více stejných dělitelů, pak jsou to čísla soudělná. Pokud tam ale najdeš jenom číslo 1 a žádné jiné, jsou to čísla nesoudělná.
Například čísla 4 a 18 – dělitelé čísla 4 jsou 1, 2, 4; dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. Podíváš se na ty dělitele a vidíš, že tam mají stejná čísla 1 a 2. To znamená, že mají společné dva dělitele, proto jsou čísla 4 a 18 soudělná. Ale čísla 5 a 18 – dělitelé čísla 5 jsou 1 a 5; dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. Vidíš, že jediným společným dělitelem je číslo 1, proto jsou čísla 5 a 18 nesoudělná.

Souřadnice bodu

každý bod v kartézské soustavě souřadnic můžeš zapsat dvěma čísly. Tím jednoznačně určíš polohu toho bodu. První je číslo na ose x, druhé je číslo na ose y. Těmto dvěma číslům říkáme x-ová (čti „iksová“) a y-ová (čti „ypsilonová“) souřadnice bodu.
Například máme bod A[2;-5]. Jeho souřadnice jsou 2 a -5, přitom 2 je x-ová a -5 je y-ová souřadnice.

Souřadnice bodu v rovině

každý bod v soustavě souřadnic (osa x a osa y) můžeš zapsat pomocí souřadnice x a souřadnice y, kde záleží na pořadí. První se vždy píše souřadnice x-ová a druhá se píše souřadnice y-ová. Příkladem bodu, který je zapsán v souřadnicích, může být bod \(A[5; -2]\) nebo bod \(B[0; 2]\).

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

k procvičení: LUVEKD

poznáš ji podle toho, že v zadání se objeví dva řádky a na každém je jedna rovnice (případně v jednom řádku budou dvě rovnice oddělené středníkem „;“, ale to je málokdy). V obou rovnicích jsou celkem právě dvě různá písmenka (neznámé), každé klidně i vícekrát. Dvě nejčastější metody řešení těchto soustav jsou metoda dosazovací a metoda sčítací. Soustava může vypadat buď přímo takto:
\(5x+2y=3\)
\(-5x+y=2\)
Tato soustava dvou rovnic o dvou neznámých x a y už má seřazeno v obou rovnicích nalevo „něco krát x plus něco krát y“ a napravo číslo. Tam můžeš pak už rovnou zvolit některou z metod a vyřešit ji, to znamená najít, které číslo dosadit za x a které za y, aby vyšlo u obou rovnic po dosazení, že levá strana je rovna pravé straně. Setkáš se ale také například s touto soustavou rovnic:
\(35=7\cdot(3a-2b)\)
\(5a-14=3b\)
Tady nemáš tak pěkně seřazeno jako v předchozím příkladě, a proto je potřeba ještě první rovnici roznásobit, posčítat, co se dá a upravit do tvaru, aby nalevo bylo „něco krát a plus něco krát b“ a napravo číslo. Druhou rovnici také upravíš převedením čísla -14 napravo a členu 3b nalevo jako při řešení obyčejné rovnice (s využitím ekvivalentních úprav). Pak už opět použiješ některou z metod a vyřešíš.

Soustava souřadnic

Soustava souřadnic (v rovině) = Kartézská soustava souřadnic.

Společný dělitel

k procvičení: TAHVED

počítá se u dvou nebo i více čísel. Poznáš ho tak, že je to číslo, kterým jdou beze zbytku dělit všechna čísla ze skupiny čísel, jejichž společný dělitel hledáš.
Například společní dělitele čísel 50 a 60 jsou 1, 2, 5, 10.

Společný násobek

k procvičení: KAVXEL

počítá se u dvou nebo i více čísel. Poznáš ho tak, že je to jakékoliv číslo, které jde beze zbytku dělit všemi čísly ve skupině čísel, jejichž společný násobek hledáš.
Například společný násobek čísel 5 a 6 je 30, 60, 90, …

Statisíce

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako šesté, když počítáš směrem zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 2597134,68 je to číslo 5; u čísla 1239756 je to číslo 2 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Stotisíciny

k procvičení: XDACBEJXX

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako páté napravo, když počítáš zleva doprava, od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,68927 je to číslo 7; u čísla 126 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, jsou tam za desetinnou čárkou samé 0…).

Stovky

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako třetí, když počítáš zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 198,68 je to číslo 1; u čísla 1856 je to číslo 8 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Stupeň mnohočlenu

u každého polynomu můžeš určovat jeho stupeň. To je nejvyšší mocnina, kterou tam najdeš u proměnné.
Například stupeň u mnohočlenu \(5x^3-8+2x\) je 3, protože nejvyšší mocnina x je v tomto mnohočlenu 3.

Sudé číslo

Sudé číslo je libovolné číslo, které končí na cifru 0, 2, 4, 6 nebo 8. Opakem sudého čísla je číslo liché.

Těžiště

je to průsečík všech tří těžnic v trojúhelníku. Zajímavé je, že v každém trojúhelníku je těžiště u každé těžnice přesně ve dvou třetinách těžnice - měřeno od vrcholu. Těžiště tedy dělí těžnici v poměru 2:1, pokud vezmeš směr od vrcholu trojúhelníku.

Těžnice v trojúhelníku

je to spojnice vrcholu a středu protější strany. V trojúhelníku jsou vždy všechny tři těžnice uvnitř tohoto trojúhelníku a protínají se v jednom bodě, který nazýváme těžiště. Zajímavé je, že v každém trojúhelníku je těžiště u každé těžnice přesně ve dvou třetinách těžnice – měřeno od vrcholu. Těžiště tedy dělí těžnici v poměru 2:1, pokud vezmeš směr od vrcholu trojúhelníku ke středu protější strany.

Tisíce

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako čtvrté, když počítáš směrem zprava doleva, od desetinné čárky, to znamená u čísla 7134,68 je to číslo 7; u čísla 9756 je to číslo 9 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se…).

Tisíciny

k procvičení: SAPLEW

u kteréhokoliv čísla je najdeš jako číslo, které se nachází jako třetí napravo, když počítáš zleva doprava, od desetinné čárky, to znamená u čísla 134,689 je to číslo 9; u čísla 3456 je to číslo 0 (protože když v čísle není desetinná čárka, je vlastně na konci, ale nepíše se, a pokud tam není další cifra, jsou tam za desetinnou čárkou samé 0…).

Trojciferné číslo

poznáš ho tak, že obsahuje tři cifry napsané za sebou. První cifra není 0.
Například 251, 756, 987. Jedná se o přirozená čísla od 100 do 999.

Trojčlen

jsou to tři (jedno)členy, které se sčítají nebo odčítají. Je mezi nimi tedy plus nebo mínus.
Například \(-8x;2x^2;5x^3\) jsou jednočleny, ale \(2x^2+(-8x)-5x^3\) už je trojčlen (tři členy oddělené plusem a mínusem). Pokud se sčítají nebo odčítají dva jednočleny, dostaneš dvojčlen, pokud čtyři, je to čtyřčlen, atd.

Trojčlenka

k procvičení: XVEWUN

je to metoda zápisu a výpočtu slovních úloh, kdy jsou dvě veličiny přímo úměrné, nebo nepřímo úměrné. V zadání slovní úlohy jsou tři údaje (hodnoty) známé (proto se tomu říká trojčlenka – tři členy znáš) a čtvrtý údaj (hodnotu) dopočítáváš tak, že zapíšeš úměru s jedním neznámým členem (například ho označ x) a tento člen vypočítáš.
Například hledáš x v úměře: \(x:2=0,4:1\). Přepíšeš na rovnost součinů: \(x \cdot 1=2\cdot0,4\), tedy \(1x=0,8\), tedy x = 0,8. Čtvrtý člen úměry je 0,8.

Trojúhelník

geometrický útvar v rovině, který je vymezen třemi body. Podmínkou je, aby ty tři body neležely v jedné přímce. Ty tři body se nazývají vrcholy trojúhelníku. Když je spojíš, tak máš trojúhelník. Do trojúhelníku patří všechny body, které leží uvnitř, a i na hranici tohoto útvaru.

Třetí mocnina

k procvičení: XUWADB

vypočítáš ji velmi jednoduše. Číslo, jehož třetí mocninu počítáš, prostě vynásobíš samo sebou třikrát. Znač ji malou trojkou u čísla vpravo nahoře.
Například třetí mocninu čísla 5 napíšeš jako \(5^3\) a vypočítáš takto \(5^3=5\cdot5\cdot5=125\). U záporného čísla nebo zlomku (kladného či záporného) musíš dát celé to číslo do závorky, například třetí mocninu čísla -3 napíšeš jako \((-3)^3\) a vypočítáš takto: \((-3)^3 =(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27\). Třetí mocninu zlomku \(\frac{4}{5}\) napíšeš jako \((\frac{4}{5})^3\) a vypočítáš (\(\frac{4}{5})^3=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{64}{125}\).

Třetí odmocnina

k procvičení: BACREH

je to „převrácená“ operace oproti třetí mocnině. Používá se zápis pomocí symbolu: \(\sqrt[3]{8}\)(čti „třetí odmocnina z osmi“), kde se nalevo nahoře zapíše taková malá trojka. Víš, že u druhé odmocniny se může dvojka vlevo nahoře vynechat. Tady to ale už nejde. Třetí odmocninu umíme z hlavy vypočítat jenom u některých čísel, řada z nich totiž patří mezi iracionální čísla.
Například \(\sqrt[3]{27}\) – číslo 27 si rozložíš na součin tří stejných čísel: \(27=3\cdot3\cdot3\), tedy \(\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot3\cdot3}\) a výsledek je právě to číslo, které vynásobíš samo sebou a znovu samo sebou, aby vzniklo číslo 27. Tedy \(\sqrt[3]{27}=3\). Zkoušku proveď pro sebe pomocí třetí mocniny. Když ověříš, že \(3^3=3\cdot3\cdot3=27\). Pamatuj, že nikdy nesmíš odmocňovat záporné číslo!

Tupoúhlý trojúhelník

je to trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel větší než 90°. Další dva vnitřní úhly už jsou pak ostré (menší než 90°).

Úlohy na roztoky

k procvičení: NUKADW

jsou o úlohy, které jsou provázané s chemií. Typický příklad je, že smícháš dva roztoky o různých koncentracích (ta je zadána v procentech) a vyjde ti nějaký výsledný roztok o určité koncentraci a o určité hmotnosti (případně objemu). A tvým úkolem bude zjistit, kolik kterého roztoku máš k vytvoření výsledného roztoku smíchat.

Úlohy o pohybu

k procvičení: SELUTH

slovní úlohy o pohybu mohou mít několik podob – typů.
1. Objekty (auta, lidi) vyrazí proti sobě ve stejnou dobu a ty máš za úkol vypočítat některý údaj, který chybí. Nejčastěji je to, kde a za jak dlouho se potkají.
2. Objekty (auta, lidi) vyrazí proti sobě, ale jeden vyrazí dříve než druhý. Ty máš za úkol vypočítat některý údaj, který chybí. Nejčastěji je to, kde a za jak dlouho se potkají.
3. Objekty (auta, lidi) vyrazí za sebou, jeden vyrazí dříve než druhý. Ty máš za úkol vypočítat některý údaj, který chybí. Nejčastěji je to, kde a za jak dlouho dohodí ten rychlejší toho pomalejšího.
U těchto úloh se používá vztah mezi dráhou \(s\), rychlostí \(v\) a časem \(t\). Platí, že \(s=v \cdot t\). Tyto úlohy je možné také řešit velmi jednoduše bez sestavování složitých rovnic, pokud chápeš jejich podstatu.

Úlohy o směsích

k procvičení: KAXEPD

jedná se o takové úlohy, kdy máš dva druhy „něčeho“ o různých cenách za kilogram a smícháš určité množství prvního druhu a určité množství druhého druhu a vyjde ti směs s určitou cenou za kilogram. Samozřejmě, že v těchto úlohách nebudeš znát některý z údajů (například kolik čeho máš do směsi přidat, jaká bude výsledná cena směsi atd.), a právě tento neznámý údaj budeš mít za úkol vypočítat. Používá se k tomu směšovací rovnice. Obecně lze za úlohu o směsích považovat také případ, kdy máš třeba několik kusů jedněch bankovek, několik kusů druhých bankovek a dohromady máš určitý obnos peněz. Nebo že máš určitý počet trojlůžkových pokojů, určitý počet čtyřlůžkových a dohromady můžeš ubytovat tolik a tolik hostů. Existuje spousta dalších případů, uvedla jsem ti pouze pár z nich.

Úlohy o společné práci

k procvičení: PENULX

to jsou slovní úlohy, které nepatří zrovna k nejjednodušším. Většinou se v zadání objeví, že jeden člověk (nebo stroj) zvládne sám práci za několik hodin, druhý to zvládne sám za jiný počet hodin a otázka zní, za kolik hodin to zvládnou, když budou pracovat společně. Nebo naopak, my budeme vědět, za jak dlouho zvládnou společně a za jak dlouho to zvládne jeden sám a ty budeš mít za úkol zjistit, za jak dlouho by to zvládnul sám druhý člověk (stroj).

Úlohy řešené pomocí lineární rovnice

k procvičení: MESUPT

jsou to slovní úlohy, u kterých je potřeba si důkladně prostudovat zadání, označit si neznámý údaj jako neznámou (nejčastěji písmenkem x) a poté na základě informací v úloze sestavit rovnici (vytvořit správně levou i pravou stranu). Když tuto rovnici pak vyřešíš, získáš i výsledek slovní úlohy. Pak si ale ještě pořádně přečteš, na co se tě v otázce ptají, abys odpověděl/a správně. Tyto slovní úlohy je potřeba hodně trénovat, protože jejich zadání může být velmi rozmanité.

Úměra

k procvičení: GUPCAN

pod tímto pojmem si představ rovnost dvou poměrů.
Například 2 : 5 = 0,4 : 1. Ověříš velice snadno, zda jsou si poměry rovny: vynásobíš spolu vnější členy úměry (v tomto případě 2 a 1 – vždy ta čísla na vnějšku) a výsledek se musí rovnat součinu vnitřních členů úměry (v tomto případě 5 a 0,4 – vždy to jsou ta čísla kolem =). Tedy 2 . 1 = 5 . 0,4. Vidíš, že 2 = 2, tedy poměry jsou si rovny. Často se setkáš s tím, že budeš dopočítávat (při řešení slovních úloh na trojčlenku) čtvrtý člen úměry. Tam právě využiješ rovnost součinu vnějších členů úměry a vnitřních členů úměry.
Například hledáš x v úměře: x : 5 = 0,4 : 1. Přepíšeš na rovnost součinů: x . 1 = 5 . 0,4, tedy 1x = 2, tedy x = 2. Čtvrtý člen úměry je 2.

Umocnění mocniny

k procvičení: RUGELT

pokud potřebuješ umocnit nějakou mocninu na další mocninu, pak se spolu exponenty vynásobí a základ zůstává stejný.
Například \((2^5)^6=2^{5\cdot6}=2^{30}\).

Úplná kvadratická rovnice

k procvičení: LEVADN

jedná se o rovnici ve tvaru \(ax^2+bx+c=0\), kde a≠0;b≠0;c≠0 \(a\not=0, b\not=0, c\not=0\). Její kořeny vypočítáš pomocí diskriminantu. \(D=b^2-4ac\). A potom \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\). Pokud D =0, pak má rovnice jeden dvojnásobný kořen (jedno řešení), pokud D >0, pak má tato rovnice dva různé kořeny (jednou dosadíš v čitateli „+“ a podruhé „-“), když D <0, tak nemůžeš v reálných číslech diskriminant (záporné číslo) odmocnit, proto tato rovnice nemá žádné řešení.

Úprava (Rozklad) na součin

k procvičení: GUFCAB

jedná se o úpravu, kdy mnohočlen (dvojčlen, trojčlen, čtyřčlen…) upravíš tak, aby vznikl výraz, ve kterém se spolu jednočleny a mnohočleny pouze násobí. Používají se k tomu různé metody: vytknutí před závorku, postupné vytýkání, algebraické vzorce a u kvadratického trojčlenu se používá rozklad na kořenové činitele (s tím se setkáš na střední).

Uzavřený interval

k procvičení: CAMUPR

je to možnost, jak zapsat podmnožinu reálných čísel, kdy znáš její „krajní čísla (body)“ a obě krajní čísla tam patří. Napíšeš krajní čísla podle velikosti a použiješ lomené závorky.
Například chceš zapsat všechna reálná čísla mezi čísly -6 a 9 včetně těch krajních čísel -6 a 9. Napíšeš to menší číslo vždy doleva a větší doprava: \(〈-6;9〉\).

Velikost zlomku

k procvičení: BACREH

každý zlomek má určitou velikost. Tu spočítáš, když vydělíš čitatele jmenovatelem (např. velikost zlomku \(\frac{1}{4}\) je \(1:4=0,25)\). Jak vidíš, vyjde nějaké desetinné číslo. Podle velikosti zlomku poznáš, zda se jedná o zlomek pravý, nebo nepravý.

Viétovy vzorce

k procvičení: VEFABM

jsou to takové pomocné vzorce ke zjištění kořenů kvadratické rovnice, jestliže je koeficient u kvadratického členu roven 1 (takové rovnici se říká normovaná kvadratická rovnice). Důležité je vědět, že ne vždy se ti ty kořeny podaří snadno pomocí Viétových vzorců najít a je to taková trochu „tipovačka“. Když rovnice vypadá takto: \(x^2+px+q=0\), tak hledáš taková dvě čísla (kořeny rovnice) \(x_1,x_2\), která dávají v součinu číslo q a v součtu číslo -p. Zapíšeme to (a to jsou právě Viétovy vzorce): \(x_1 \cdot x_2=q;x_1+x_2=-p\). Těmto vzorcům se také říká Viétovy vztahy.
Například rovnice \(x^2+x-6\). Tam platí po dosazení do Viétových vzorců, že \(x_1 \cdot x_2=-6;x_1+x_2=-1\). Podle první podmínky připadají v úvahu čtyři možnosti
\(1\cdot(-6)=-6
(-1)\cdot6=-6
2\cdot(-3)=-6
(-2)\cdot3=-6\)
Podle druhé rovnice má být\(x_1+x_2=-1\), a to splňuje jen dvojice čísel 2 a (-3), protože \(2+(-3)=2-3=-1\). Hledané dva kořeny rovnice jsou tedy \(x_1=2\) a \(x_2=-3\). Je jedno, který z nich označíš jako \(x_1\) a který \(x_2\). Pokud jsi ten typ, že taková dvě čísla najdeš rychle, určitě se ti tento postup vyplatí používat, ale jinak je pro výpočet kořenů pro tebe vhodnější používat vzorec s diskriminantem (vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice).

Viétovy vztahy

k procvičení: NUKECD

viz totéž co Viétovy vzorce.

Vnější členy úměry

k procvičení: LENVUR

to jsou ty dva členy úměry, které jsou „na vnějšku“ zápisu úměry (ty nejdál od =). Je to velmi jednoduché. U úměry 2 : 5 = 0,4 : 1 jsou vnější členy 2 a 1. Číslům u okolo „=“ se říká vnitřní členy úměry.

Vnitřní členy úměry

k procvičení: HSAMEW

to jsou ty dva členy úměry, které jsou „uvnitř“ zápisu úměry (ty okolo „=“). Je to velmi jednoduché. U úměry 2 : 5 = 0,4 : 1 jsou vnitřní členy 5 a 0,4. Číslům „na vnějšku“ se říká vnější členy úměry.

Vnitřní úhly v trojúhelníku

poznáš je podle toho, že to jsou ty úhly uvnitř trojúhelníku u každého ze tří vrcholů. Když sečteš velikosti všech vnitřních úhlů v kterémkoliv trojúhelníku, vždycky dostaneš součet 180°.

Vrchol paraboly

k procvičení: KUXELT

je to buď nejnižší, nebo nejvyšší bod paraboly, která je grafem kvadratické funkce. Je-li kvadratická funkce zadaná ve tvaru \(f: y=ax^2+bx+c\), pak se souřadnice vrcholu \(V[x_v;y_v]\) získají úpravou předpisu na tzv. vrcholový tvar (úpravu s názvem „doplnění na úplný čtverec“ se budeš učit až na střední). Ty budeš mít zatím za úkol vyčíst souřadnice vrcholu rovnou z vrcholového tvaru:\(f: y=a\cdot(x-x_v)^2+y_v\). Najdeš v závorce číslo \(x_v\) a za závorkou číslo \(y_v\) a zapíšeš \(V[x_v;y_v]\). Je-li a>0, pak je vrchol minimum funkce, je-li a<0, pak je vrchol maximum funkce.
Například funkce \(f: y=3\cdot(x-32)^2-1\) má \(V[32;-1]\), \(a=3>0\), vrchol je tedy minimem funkce \(f\). Jiná funkce \(g: y=-2\cdot(x+3)^2+11\) má \(V[-3;11]\), \(a=-2<0\), vrchol je tedy maximem funkce \(g\).

Výraz

Výraz = buď nějaký příklad pouze s čísly (=číselný výraz), nebo zápis obsahující kromě čísel proměnné (=písmenka),to je algebraický nebo lomený výraz. Ve všech typech výrazů se s čísly a proměnnými provádějí matematické operace, můžou obsahovat i např. mocniny, odmocniny a jiné...

Výška v trojúhelníku

je to kolmice vedená z vrcholu na protější stranu. U ostroúhlého trojúhelníku jsou všechny tři výšky uvnitř trojúhelníku, u pravoúhlého trojúhelníku jsou dvě ze tří výšek přímo odvěsny a u tupoúhlého trojúhelníku leží dvě ze tří výšek vně tohoto trojúhelníku. Všechny tři výšky se u každého trojúhelníku protínají v jednom bodě (ten nazývej ortocentrum).

Vytýkání před závorku

k procvičení: XETUSN

tohle je metoda úpravy (rozkladu) na součin, kdy ze všech členů u dvojčlenu, trojčlenu, čtyřčlenu… vybereš to, co mají společného (číslo a proměnnou v nejvyšší mocnině) a napíšeš to před závorku. Do závorky pak tzv. „posbíráš zbytky“ po vydělení každého členu vytknutým výrazem. Podívej se na příklad: trojčlen \(2x^2+8x-4x^3\) obsahuje členy \(2x^2;8x;4x^3\). Nejdřív koukneš na koeficienty (čísla). Ty jsou 2; 8; 4. Jejich největší společný dělitel je 2. Společná proměnná je x a její nejvyšší mocnina obsažená v každém členu je 1, tedy \(x^1=x\). Vytkneš tedy 2x. Pak ti do závorky zbyde \(x+4-2x^2\). Znaménka operací necháš stejná. Po úpravě vytknutím před závorku dostáváš \(2x\cdot(x+4-2x^2)\). To, že máš dobře vytknuto, zkontroluješ zpětným roznásobením závorky: \(2x\cdot(x+4-2x^2)=2x^2+8x-4x^3\).

Vzorec funkce

k procvičení: SBULAH

jedná se o jednu možnost, jak dostaneš zadanou funkci. Vlastně podle toho vzorce počítáš čísla y, která jsou přiřazená číslům x. Dosazením čísel do tohoto vzorce za x jednoduše získáš hodnoty funkce v bodech (výsledek je y). Vzorcem je například zadaná funkce \(g: y=x–5\). Pak pro x = 1 dostaneš y = 1 – 5 = -4, pro x = 3 dostaneš y = 3 – 5 = -2, atd. Jinak můžeš také říkat místo vzorec funkce předpis funkce, nebo rovnice funkce. Význam je stejný.

Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice

k procvičení: BERALC

kořeny \(x_1,x_2\) každé kvadratické rovnice tvaru \(ax^2+bx+c=0\) , kde \(a\not=0\) vypočítáš ve dvou krocích pomocí diskriminantu. Platí \(D=b^2-4ac\). Potom druhým krokem je, že dosadíš do vzorce \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) (jednou dosadíš v čitateli „+“ a podruhé „-“). Lze tak řešit i kvadratické rovnice neúplné (bez lineárního nebo bez absolutního členu), i když je to někdy poněkud nepraktické a lze to řešit i rychleji než použitím diskriminantu a vzorce.
Například u rovnice \(ax^2+c=0\) dosadíš v obou krocích za b=0. U rovnice tvaru \(ax^2+bx=0\) dosadíš v obou krocích za c=0. Je-li D =0, pak má rovnice jeden dvojnásobný kořen (jedno řešení), pokud D >0, pak má tato rovnice dva různé kořeny, když D <0, tak nemůžeš diskriminant (záporné číslo) odmocnit, tato rovnice tedy nemá žádné řešení\. Pokud chceš kořeny vypočítat v jednom kroku, pak si spoj oba vzorce dohromady a dostaneš: \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). I tato podoba se používá.

x-ová (čti „iksová“) souřadnice

je to souřadnice zapsaná u bodu jako první v pořadí.
Například máme bod \(A[2;-5]\). Jeho x-ová souřadnice je 2.

y-ová (čti „ypsilonová“) souřadnice

je to souřadnice zapsaná u bodu jako druhá v pořadí.
Například máme bod \(A[2;-5]\). Jeho y-ová souřadnice je -5.

Základ mocniny

to je to číslo, u kterého je vpravo nahoře ještě jedno malé číslo (= exponent nebo jiným názvem mocnitel). Základ mocniny (= mocněnec) může být kterékoliv reálné číslo. Na základce budeš základ mocniny umocňovat pouze na přirozená čísla (= exponent bude přirozené číslo) nebo 0. Potom mocninu tohoto čísla vypočítáš tak, že budeš za sebou násobit základ mocniny tolikrát podle čísla v exponentu.
Například \(31^1=31\); \(60^2=60\cdot60\); \(19^3=19\cdot19\cdot19\); \(7^5=7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\); \((-18)^4=(-18)\cdot(-18)\cdot(-18)\cdot(-18)\). Základy mocnin jsou u uvedených příkladů postupně 31; 60; 19; 7 a -18. Exponenty jsou po řadě 1; 2; 3; 5 a 4.
Pamatuj, že cokoliv umocněno na nultou kromě nuly je rovno jedné. Tedy symbolicky zapsáno: \(a^0=1\), \(a\not=0\).
Například \((-9)^0=1\); \(53^0=1\); \((-0,98)^0=1\); \((\frac{6}{13})^0=1\); \(1^0=1\).

Základ

k procvičení: HEGMUW

je to pojem používaný u procent. Ve své podstatě je to jeden celek, převedený na procenta. Základ vždy představuje 100 %. Vysvětlím ti to takto: protože jedno procento (1 %) je jedna setina celku (\(\frac{1}{100}\) celku), proto je jeden celek (= \(\frac{100}{100}\) ) roven 100 %.

Zaokrouhlování desetinných čísel

k procvičení: EUSWAX

je to určení přibližné hodnoty desetinného čísla. Vždycky dostaneš zadané, na kolik desetinných míst máš zaokrouhlit dané číslo. Zaokrouhluje se na jednotky (vznikne číslo bez desetinných míst), desetiny (na jedno desetinné místo), setiny (na dvě desetinná místa), tisíciny (na tři desetinná místa), desetitisíciny (na čtyři desetinná místa), stotisíciny (na pět desetinných míst) a miliontiny (na šest desetinných míst). Uděláš to tak, že se koukneš, která číslice je na desetinném místě hned napravo od desetinného místa, na které zaokrouhluješ (u jednotek na desetiny, u desetin koukneš na setiny, u setin koukneš na tisíciny, u tisícin koukneš na desetitisíciny, atd.). Jestliže tam je číslice od 0 do 4, pak se zaokrouhlí tak zvaně dolů, tedy na místě, na které zaokrouhluješ, necháš číslo, které tam je. Je-li tam číslice od 5 do 9, pak k číslu, které je na místě, na které zaokrouhluješ, přičteš 1 a tím zaokrouhlíš tak zvaně nahoru.
Například číslo 3,486 zaokrouhli na setiny – koukneš se tedy na místo tisícin, tam je 6, a ta zvedne číslo 8 na místě setin na číslo 9. Po zaokrouhlení vznikne číslo 3,49.
Další příklad je: číslo 3,864 zaokrouhli na setiny – koukneš na místo tisícin, tam je 4, ta zaokrouhlí dolů, to znamená číslo jen „usekneš“ na 3,86. Poslední nejtěžší příklad je zaokrouhli číslo 3,896 na setiny – podíváš se na místo tisícin, tam je 6, ta zaokrouhluje nahoru, jenže když k 9 přičtu 1, mám tam 10, a proto se ta 1 ještě posune doleva na místo desetin, a dostaneš 3,90 po zaokrouhlení, to ale můžeš napsat jako 3,9 (nuly na konci čísla se nepíšou, pokud jsou za desetinnou čárkou).

Zápis intervalu

k procvičení: PAVNUG

existuje celkem osm možností, jak může interval vypadat. Vychází to z toho, jakou podmnožinu reálných čísel chceš zapsat. Tu podmnožinu můžeš napsat buď pomocí nerovnosti (podmínky pro čísla z té podmnožiny), nebo právě pomocí intervalu. Zde je přehled i s vysvětlením, jak každý konkrétní interval chápat:

Záporná čísla

poznáš je podle toho, že mají před sebou znaménko „-“ (mínus), například -150; -2,6; -0,9; -29… Na číselné ose jsou to všechna čísla nalevo od nuly.

Záporná desetinná čísla

k procvičení: FUCLAS

poznáš je podle toho, že mají před sebou znaménko „-“ (mínus), například -15,04; -2,6; -0,9; -29,23658… Na číselné ose jsou to všechna desetinná čísla nalevo od nuly.

Záporné smíšené číslo

k procvičení: RNGEMA

poznáš ho tak, že je to smíšené číslo, před kterým je znaménko „-“ mínus.
Například smíšené číslo \(-3\frac{2}{5}\).

Záporný zlomek

poznáš ho tak, že je to zlomek, před kterým je znaménko mínus („-“). Může se taky stát, že potkáš zlomek, který má v čitateli nebo ve jmenovateli záporné číslo, takže ve výsledku vlastně záporné číslo vydělené kladným číslem (a kladné číslo vydělené záporným číslem) je záporné číslo, například \(\frac{-2}{3}\) nebo \(\frac{2}{-3}\) je ve své podstatě ve výsledku záporný zlomek \(-\frac{2}{3}\) („mínus a plus dává mínus“).

Závorky

v příkladu, výrazu nebo v rovnicích ti ukazují, kterou operaci máš nejdříve provést.
Používají se různé druhy závorek:
kulaté ()
hranaté []
složené \(\lbrace \rbrace\)
Při počítání příkladů se vždy postupuje od nejvnitřnějších závorek po nejvnějšnější. Příklad, který obsahuje větší množství dvojic závorek, se zapisuje vždy tak, že nejprve použiješ kulaté závorky, ty se pak “obalí” hranatými a pak teprve přichází na řadu složené. Ještě určitě někdy potkáš množinové závorky, které vypadají jako složené \(\lbrace \rbrace\), dále závorky lomené, např. v zápisu \(〈{10,11}〉\), se kterými se setkáš při zapisování intervalů. Zajímavé jsou závorky, které jsou vlastně svislými čarami, např. \(\vert-5\vert\), čti „absolutní hodnota z -5”.

Zdola omezená funkce

k procvičení: GECAMF

taková je každá funkce, pro kterou platí, že její graf „neklesne“ pod určitou hodnotu y. Vizuálně to tedy poznáš z obrázku grafu. To pro tebe bude nejjednodušší. Prakticky to vlastně znamená, že když budeš cokoliv z definičního oboru funkce dosazovat do předpisu funkce, nikdy ti nevyjde hodnota nižší než nějaké určité číslo.
Například zdola omezená je kvadratická funkce s předpisem \(f:y=5x^2-10x-3\), protože \(a=5>0\) a její graf (parabola) je proto ve tvaru „mističky“.

Zkouška u rovnice

když máš udělat zkoušku u rovnice, tak dosadíš do levé i pravé strany rovnice za neznámou to číslo, které ti vyšlo při řešení rovnice. Pokud ti vyjde, že číslo na levé straně je rovno číslu na pravé straně (L=P), pak jsi rovnici vyřešil/a dobře. Zkouška je taková kontrola hlavně pro tebe.

Zlomek

k procvičení: PENUCD

je to určitá část nějakého celku. Zapisuj ho jako jedno číslo lomeno druhým číslem: například \(\frac{3}{4} \), přečti to „tři čtvrtiny“. To lomeno nazývej zlomková čára. Číslu nahoře nad zlomkovou čárou říkej čitatel a číslu dole pod zlomkovou čarou říkej jmenovatel. Zlomek má určitou velikost, tu spočítáš, když vydělíš čitatele jmenovatelem (zde 3 : 4 = 0,75). Jak vidíš, vyjde nějaké desetinné číslo. Podle velikosti zlomku poznáš, zda se jedná o zlomek pravý, nebo nepravý.

Zlomková čára

je to vodorovná čára ve zlomku, která odděluje od sebe čitatele a jmenovatele. Její význam je dělení, tedy zlomek \(\frac{5}{8}\) lze také napsat jako dělení 5 : 8. To už ale pak samozřejmě není zlomek.

Změna v daném poměru

k procvičení: KERXUM

není nic jednoduššího! Když máš číslo změnit v daném poměru, tak si ten poměr představ jako zlomek („ku“ = zlomková čára) a vynásob původní číslo tím zlomkem.
Například číslo 25 máš změnit v poměru 3 : 5. Tedy \(\frac{3}{5}=15\). Číslo 25 se zmenšilo na 15, tedy když je první číslo v poměru menší než druhé, jedná se o zmenšení čísla v daném poměru (násobíš zlomkem menším než 1). Máš-li číslo 36 změnit v poměru 5 : 3, vynásob \(36\cdot\frac{5}{3}=60\). Číslo 36 ze zvětšilo na 60. Tedy když je první číslo v poměru větší než druhé, jedná se o zvětšení čísla v daném poměru (násobíš zlomkem větším než 1).

Zmenšení čísla v daném poměru

k procvičení: DUSBAV

jedná se o jednu z možností změny v daném poměru. Když je první číslo v poměru menší než druhé, jedná se o zmenšení čísla v daném poměru (násobíš zlomkem menším než 1).
Například číslo 25 máš změnit v poměru 4 : 5. Tedy \(25\cdot\frac{4}{5}=20\). Číslo 25 se zmenšilo na 20.

Znaky dělitelnosti 100

k procvičení: LUBVAC

číslo dělitelné stem poznáš tak, že končí ciframi 00, tedy poslední dvojčíslí tohoto čísla je 00.
Například 9840 – vezmeš dvojčíslí 40, a to není 00, tedy 9840 není dělitelné stem; 4500 – vezmeš dvojčíslí 00, tedy číslo 4500 je dělitelné stem.

Znaky dělitelnosti 10

k procvičení: FEBPUH

číslo dělitelné deseti poznáš tak, že se podíváš na poslední cifru čísla, o kterém rozhoduješ (tj. na pozici jednotek). Je-li tam 0, potom je toto číslo dělitelné deseti.
Například 2894 – vezmeš poslední cifru, to je 4, není to tedy 0 – číslo 2894 není dělitelné deseti; 9120 – vezmeš cifru 0, tedy číslo 9120 je dělitelné deseti.

Znaky dělitelnosti 12

k procvičení: TEPHUD

číslo dělitelné dvanácti poznáš tak, že je dělitelné třemi a čtyřmi (protože \(12=3\cdot4\). Pokud je oběma těmito čísly číslo dělitelné, pak je dělitelné i dvanácti.
Například 244 – 44 je dělitelné čtyřmi, tedy i 244 je dělitelné čtyřmi; 2+4+4=10, ale číslo 10 nejde dělit třemi beze zbytku, tedy třemi dělitelné není, takže ani číslo 244 není dělitelné dvanácti, protože nejsou splněny obě podmínky. Číslo 2244 – 44 je dělitelné čtyřmi, tedy i 2244 je dělitelné čtyřmi; 2+2+4+4=12 a číslo 12 lze dělit třemi beze zbytku, tedy číslo 2244 je dělitelné dvanácti, protože splňuje obě podmínky.

Znaky dělitelnosti 15

k procvičení: SUVLAG

číslo dělitelné patnácti poznáš tak, že je dělitelné třemi a pěti (protože \(15=3\cdot5\). Pokud je oběma těmito čísly číslo dělitelné, pak je dělitelné i patnácti.
Například 345 – je dělitelné pěti (na místě jednotek je 5); 3+4+5=12 a číslo 12 jde dělit třemi beze zbytku, tedy třemi dělitelné také je, takže číslo 345 je dělitelné patnácti, protože jsou splněny obě podmínky. Číslo 2244 – není dělitelné pěti (nekončí cifrou 0 ani 5), tedy ani číslo 2244 není dělitelné patnácti a podmínku dělitelnosti třemi už ani není potřeba zkoumat.

Znaky dělitelnosti 18

k procvičení: FAXPEH

číslo dělitelné osmnácti poznáš tak, že je dělitelné dvěma a devíti (protože \(18=2\cdot9\). Pokud je oběma těmito čísly číslo dělitelné, pak je dělitelné i osmnácti.
Například 6534 – je dělitelné dvěma (na místě jednotek je 4); 6+5+3+4=18 a číslo 18 jde dělit devíti beze zbytku, tedy devíti dělitelné také je, takže číslo 6534 je dělitelné osmnácti, protože jsou splněny obě podmínky. Číslo 2244 – je dělitelné dvěma (končí cifrou 4), 2+2+4+4=12, a to není dělitelné devíti beze zbytku, tedy číslo 2244 není dělitelné osmnácti, protože nejsou splněny obě podmínky.

Znaky dělitelnosti 20

k procvičení: DUVBAP

číslo dělitelné dvaceti poznáš tak, že se podíváš na poslední dvojčíslí čísla, o kterém rozhoduješ. Získáš dvojciferné číslo. Pokud je toto dvojciferné číslo dělitelné dvaceti beze zbytku, pak i číslo původní je dělitelné dvaceti. Poslední dvojčíslí tedy musí být 00, 20, 40, 60, nebo 80.
Například 2440 – vezmeš dvojčíslí 40, a to jde dělit dvaceti; 9100 – vezmeš dvojčíslí 00, tedy číslo 0, a to jde dělit dvaceti; 55582 – vezmeš dvojčíslí 82, které není dělitelné dvaceti beze zbytku. Čísla 2440 a 9100 jsou tedy dělitelná dvaceti, ale číslo 55582 není dělitelné dvaceti.

Znaky dělitelnosti 25

k procvičení: GADCEX

číslo dělitelné dvaceti pěti poznáš tak, že se podíváš na poslední dvojčíslí čísla, o kterém rozhoduješ. Získáš dvojciferné číslo. Pokud je toto dvojciferné číslo dělitelné dvaceti pěti beze zbytku, pak i číslo původní je dělitelné dvaceti pěti. Poslední dvojčíslí tedy musí být 00, 25, 50, nebo 75.
Například 5440 – vezmeš dvojčíslí 40, a to nejde dělit dvaceti pěti; 8100 – vezmeš dvojčíslí 00, tedy číslo 0, a to jde dělit dvaceti pěti; 66582 – vezmeš dvojčíslí 82, které není dělitelné dvaceti pěti beze zbytku. Číslo 8100 je tedy dělitelné dvaceti pěti, ale čísla 5440 a 66582 nejsou dělitelná dvaceti pěti.

Znaky dělitelnosti 2

k procvičení: NUDKAS

číslo dělitelné dvěma poznáš tak, že je sudé, což znamená, že končí na cifru 0, 2, 4, 6, nebo 8.
Například 256, 9000, 1124, 28, … jsou dělitelná dvěma, ale čísla 11, 49, 25, 37, … nejsou dělitelná dvěma.

Znaky dělitelnosti 3

k procvičení: XUPWAV

číslo dělitelné třemi poznáš tak, že když sečteš všechny cifry (číslice) v čísle, o kterém rozhoduješ, tak ti vyjde součet, který můžeš vydělit třemi beze zbytku.
Například 246 – vezmeš příklad 2+4+6=12, a to jde dělit třemi; 9100 – vezmeš příklad 9+1+0+0=10, ale to nejde dělit třemi beze zbytku. Číslo 246 je tedy dělitelné třemi, ale číslo 9100 není dělitelné třemi.

Znaky dělitelnosti 4

k procvičení: DAXBEP

číslo dělitelné čtyřmi poznáš tak, že se podíváš na poslední dvojčíslí čísla, o kterém rozhoduješ. Získáš dvojciferné číslo. Pokud je toto dvojciferné číslo dělitelné čtyřmi beze zbytku, pak i číslo původní je dělitelné čtyřmi.
Například 244 – vezmeš dvojčíslí 44, a to jde dělit čtyřmi; 9100 – vezmeš dvojčíslí 00, tedy číslo 0, a to jde dělit čtyřmi; 55582 – vezmeš dvojčíslí 82, které není dělitelné čtyřmi beze zbytku. Čísla 244 a 9100 jsou tedy dělitelná čtyřmi, ale číslo 55582 není dělitelné čtyřmi.

Znaky dělitelnosti 50

k procvičení: HEXMUB

číslo dělitelné padesáti poznáš tak, že se podíváš na poslední dvojčíslí čísla, o kterém rozhoduješ. Získáš dvojciferné číslo. Pokud je toto dvojciferné číslo dělitelné padesáti beze zbytku, pak i číslo původní je dělitelné padesáti. Poslední dvojčíslí tedy musí být 00, nebo 50.
Například 2430 – vezmeš dvojčíslí 30, a to nejde dělit padesáti; 4100 – vezmeš dvojčíslí 00, tedy číslo 0, a to jde dělit padesáti; 56592 – vezmeš dvojčíslí 92, které není dělitelné padesáti beze zbytku. Číslo 4100 je tedy dělitelné padesáti, ale čísla 2430 a 56592 nejsou dělitelná padesáti.

Znaky dělitelnosti 5

k procvičení: WABFDE

číslo dělitelné pěti poznáš tak, že se podíváš na poslední cifru čísla, o kterém rozhoduješ (tj. na pozici jednotek). Je-li tam 0 nebo 5, potom je toto číslo dělitelné pěti.
Například 284 – vezmeš poslední cifru, to je 4, není to tedy 0 nebo 5 – číslo 284 není dělitelné pěti; 9120 – vezmeš cifru 0, tedy číslo 9120 je dělitelné pěti.

Znaky dělitelnosti 6

k procvičení: WUVDAF

číslo dělitelné šesti poznáš tak, že zjistíš, jestli je dělitelné dvěma a třemi (protože \(6=2\cdot3\). Pokud je oběma těmito čísly číslo dělitelné, pak je dělitelné i šesti.
Například 244 – je sudé, tedy dělitelné dvěma, 2+4+4=10, ale číslo 10 nejde dělit třemi beze zbytku, tedy třemi dělitelné není, takže ani číslo 244 není dělitelné šesti, protože nejsou splněny obě podmínky. Číslo 2442 – je sudé, tedy dělitelné dvěma, 2+4+4+2=12 a číslo 12 lze dělit třemi, tedy číslo 2442 je dělitelné šesti, protože splňuje obě podmínky.

Znaky dělitelnosti 8

k procvičení: GEBCUX

číslo dělitelné osmi poznáš tak, že se podíváš na poslední trojčíslí čísla, o kterém rozhoduješ. Získáš trojciferné číslo. Pokud je toto trojciferné číslo dělitelné osmi beze zbytku, pak i číslo původní je dělitelné osmi.
Například 2040 – vezmeš trojčíslí 040, tedy číslo 40, a to jde dělit osmi; 9100 – vezmeš trojčíslí 100 a to nejde dělit osmi beze zbytku. Číslo 2040 je dělitelné osmi, ale číslo 9100 není dělitelné osmi.

Znaky dělitelnosti 9

k procvičení: MUXSAR

číslo dělitelné devíti poznáš tak, že když sečteš všechny cifry (číslice) v čísle, o kterém rozhoduješ, tak ti vyjde součet, který můžeš vydělit devíti beze zbytku.
Například 6246 – vezmeš příklad 6+2+4+6=18, a to jde dělit devíti; 9100 – vezmeš příklad 9+1+0+0=10, ale to nejde dělit devíti. Číslo 6246 je tedy dělitelné devíti, ale číslo 9100 není dělitelné devíti.

Znaky nerovnosti

k procvičení: GUCEFB

jsou to symboly, které používáme, když chceme zapsat nějakou nerovnost nebo nerovnici. Existují celkem čtyři znaky nerovnosti: < čti „menší než“; > čti „větší než“; \(≤\) čti „menší nebo rovno“; \(≥\) čti „větší nebo rovno“.

Znaménka u dělení

k procvičení: FEPAKR

kladné číslo vydělené kladným číslem – výsledek je kladné číslo: „plus děleno plus dává plus“ \((30:6=5)\);
2. Kladné číslo vydělené záporným číslem nebo záporné číslo vydělené kladným číslem – výsledek je záporné číslo: „plus děleno mínus dává mínus“, „mínus děleno plus dává mínus“ \((30:(-6)=-5; (-30):6=-5)\);
3. Záporné číslo vydělené záporným číslem – výsledek je kladné číslo: „mínus děleno mínus dává plus“ \(((-30):(-6)=5)\);
4. nula dělená kterýmkoliv nenulovým číslem – výsledek je nula \((0:5=0)\).

Znaménka u násobení

k procvičení: REGATV

1. kladné číslo vynásobené kladným číslem – výsledek je kladné číslo: „plus krát plus dává plus“ (\(5\cdot6=30\);
2. Kladné číslo násobené se záporným číslem – výsledek je záporné číslo: „plus krát mínus dává mínus“, „mínus krát plus dává mínus“ \((5\cdot(-6)=-30)\);
3. Záporné číslo násobené záporným číslem – výsledek je kladné číslo: „mínus krát mínus dává plus“ \(((-5)\cdot(-6)= 30)\);
4. kterékoliv číslo násobené nulou – výsledek je nula \((5\cdot0=0)\)

Znaménka u odčítání

k procvičení: NUKEBC

zde ti popíšu, jaká bude výsledná operace, když odčítáš od kteréhokoliv čísla kladné nebo záporné číslo:
1. Když odčítáš kladné číslo, operace bude odčítání (například \(5-(+9)=5-9=-4)\);
2. Když odčítáš záporné číslo, výsledná operace je sčítání (například \(5-(-9)=5+9=14)\).

Znaménka u sčítání

k procvičení: BERAVL

zde ti popíšu, jaká bude výsledná operace, když přičítáš k jakémukoliv číslu kladné nebo záporné číslo:
1. Když přičítáš kladné číslo, operace bude sčítání (například \(5+(+9)=5+9=14)\);
2. Když přičítáš záporné číslo, výsledná operace je odčítání (například \(5+(-9)=5-9=-4)\).

Zvětšení čísla v daném poměru

k procvičení: FATPEC

jedná se o jednu z možností změny v daném poměru. Když je první číslo v poměru větší než druhé, jedná se o zvětšení čísla v daném poměru (násobíš zlomkem větším než 1). Máš-li číslo 66 změnit v poměru 5 : 3, vynásob \(66\cdot\frac{5}{3}=110\). Číslo 66 ze zvětšilo na 110.